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Bogenlängenrechner

Schritt 1 / 4 Bogenlänge

Geben Sie den Radius eines Kreises und einen zentralen Winkel ein, und das Tool gibt die Bogenlänge zusammen mit der Sehne (gerade Distanz) und der Sektorfläche zurück. Unterstützt Eingaben in Grad oder Bogenmaß. Nützlich für Holzarbeiten, Treppen- und Rampenlayout, Straßenplanung und jede Geometrie-Hausaufgabe, die gekrümmte Abschnitte umfasst.

Wie man eine Bogenlänge berechnet

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    Geben Sie den Radius ein

    Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zum Bogen. Jede Längeneinheit funktioniert, die Ausgabe entspricht der Eingabeeinheit.

  2. 2

    Wählen Sie die Winkeleinheit

    Grad (0-360) oder Bogenmaß (0-2π). Die meisten manuellen Arbeiten verwenden Grad; Analysis und Physik verwenden Bogenmaß.

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    Geben Sie den zentralen Winkel ein

    Der Winkel, der am Mittelpunkt des Kreises zwischen den beiden Radien, die den Bogen begrenzen, eingeschlossen ist.

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    Lesen Sie Bogenlänge, Sehne und Fläche

    Die Bogenlänge ist die Distanz entlang der Kurve. Die Sehne ist die gerade Linie zwischen den Endpunkten. Die Sektorfläche ist die Tortenstückfläche zwischen den beiden Radien und dem Bogen.

Die Bogenlängenformel

In Bogenmaß:

bogenlaenge = r × θ

Dabei ist r der Radius und θ der zentrale Winkel in Bogenmaß. Deshalb gibt es Bogenmaß als Einheit, die Formel ist klar. In Grad müssen Sie umrechnen:

bogenlaenge = r × (θ_grad × π / 180)

Verwandte Formeln für dasselbe Setup

  • Sehnenlänge: 2 × r × sin(θ / 2)
  • Sektorfläche: 0.5 × r² × θ (θ in Bogenmaß)
  • Segmentfläche (zwischen Sehne und Bogen): 0.5 × r² × (θ - sin(θ))
  • Bogenhöhe (Sagitta): r - r × cos(θ / 2), wie weit der Bogen über den Mittelpunkt der Sehne ansteigt.

Häufige praktische Fälle

Szenario Typischer Winkel Anmerkungen
Gekrümmte Holzsockelleiste 15-45° Sehne ≈ Bogen bei kleinen Winkeln
Treppenstufe auf einer runden Treppe 20-30° Winkel × Anzahl der Stufen = 360°
Straßenkurve (horizontale Ausrichtung) 5-45° Entwurfsgeschwindigkeit bestimmt maximale Krümmung
Rohrbiegung 22.5° / 45° / 90° Standardanschlusswinkel
Torbogen 60-180° Halbkreis ist 180°

Näherung für kleine Winkel

Für Winkel unter etwa 15° (0.26 rad) liegen Bogenlänge und Sehne innerhalb von 1% voneinander entfernt. Bei sehr kleinen Winkeln können Sie die Kurve als gerade Linie behandeln, ohne signifikante Fehler, nützlich, um eine Kurve in kurze gerade Paneele zu segmentieren (z.B. für CNC- oder Laserschneiden mit Polylinien-Näherungen).

Bogenmaß vs. Grad: welches verwenden

Kontext Bevorzugte Einheit
Alltagsgeometrie Grad
Physik, Analysis Bogenmaß
Navigation, Vermessung Grad (oft mit Minuten und Sekunden)
Programmierung (Mathe-Bibliotheken) Bogenmaß (fast universell)

Wenn Ihr Code Math.sin(x) oder sin(x) ohne Umrechnung aufruft, ist x in Bogenmaß. Um Grad in Bogenmaß umzuwandeln: multiplizieren Sie mit π/180 ≈ 0.01745.

Häufig gestellte Fragen

Die Bogenlänge ist ein Bruchteil des Umfangs, proportional zum zentralen Winkel. Ein 90°-Bogen ist ein Viertel des gesamten Umfangs (2πr). Bogenlänge = (Winkel / 360°) × 2πr in Grad oder r × θ in Bogenmaß.

Umstellen: r = bogenlaenge / θ (θ in Bogenmaß) oder r = bogenlaenge × 180 / (π × θ_grad). Nützlich, wenn Sie die Kurvenlänge und den Schwung kennen, aber den Radius zurückrechnen müssen.

Der Bogen überlappt den vollen Kreis. Mathematisch funktioniert die Formel weiterhin (z.B. 720° ergibt 2 × Umfang), aber physisch ist ein Bogen von mehr als 360° einfach der Kreis, der mehrfach nachgezeichnet wird. Für praktische Arbeiten reduzieren Sie modulo 360°.

Eine helikale Treppe hat jede Stufe, die einen zentralen Winkel einschließt. Die Bogenlänge der Trittfläche an der Außenseite = Radius × Winkel pro Stufe. Die Gehlinie (typischerweise 30-45 cm von der Innenseite entfernt) verwendet einen kleineren Radius und kürzeren Bogen, weshalb Bauvorschriften die minimale Trittbreite der Gehlinie angeben, anstatt die minimale Gesamttiefe der Trittfläche.

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