Rechner für arithmetische Folgen
Gib das erste Glied, die konstante Differenz und die gewünschte Anzahl an Gliedern ein, und dieser Rechner für arithmetische Folgen liefert das n-te Glied, die Summe der ersten n Glieder und eine Vorschau der Folge selbst. Eine arithmetische Folge ist eine Folge, bei der du stets denselben festen Betrag addierst, um von einem Glied zum nächsten zu gelangen, sodass sie in einer vollkommen geraden Linie wächst (oder fällt). Die Ergebnisse aktualisieren sich beim Tippen, ohne Rundungstricks und ohne dass etwas installiert werden muss.
So funktioniert der Rechner
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1
Erstes Glied und Differenz eingeben
Trage den Startwert a₁ und die konstante Differenz d ein, die zwischen den Gliedern addiert wird.
-
2
Anzahl der Glieder wählen
Lege n fest, also die Position des gesuchten Glieds und die Anzahl der zu summierenden Glieder.
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3
Ergebnisse ablesen
Sieh dir das n-te Glied, die Summe der ersten n Glieder und eine Vorschau der Folge an.
Die Formeln der arithmetischen Folge
Eine arithmetische Folge hat einen konstanten Abstand, die Differenz d, zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Zwei Formeln erledigen die ganze Arbeit:
n-tes Glied: a_n = a₁ + (n − 1) · d
Summe: S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)
Dabei ist a₁ das erste Glied, d der bei jedem Schritt addierte Betrag (er kann für eine fallende Folge negativ sein) und n die Anzahl der gezählten Glieder. Die Summenformel ist einfach der Durchschnitt aus erstem und letztem Glied, multipliziert mit der Anzahl der Glieder.
Ein durchgerechnetes Beispiel
Nimm a₁ = 2 und d = 3. Die Folge lautet 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 …
Um das 10. Glied zu finden:
a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29
Um die ersten 10 Glieder zu addieren:
S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155
Das 10. Glied ist also 29 und die laufende Summe 155.
Glieder, Differenzen und Teilsummen
| n | aₙ = 2 + (n−1)·3 | Sₙ (Summe der ersten n) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 5 | 7 |
| 5 | 14 | 40 |
| 10 | 29 | 155 |
Beachte, dass jedes Glied um genau d = 3 steigt, das Kennzeichen einer arithmetischen (nicht geometrischen) Folge. Die Teilsumme Sₙ wächst schneller als die Glieder selbst, weil jeder Schritt die gesamte laufende Linie hinzufügt und nicht nur den letzten Wert.
Eine schnelle Kontrolle: Die Summe ist gleich der Anzahl der Glieder mal dem Durchschnitt aus erstem und letztem Glied. Für n = 10 sind das 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15,5 = 155, was genau mit der Tabelle übereinstimmt.
Häufige Stolperfallen
- Off-by-one bei n. Die Formel verwendet (n − 1)·d, nicht n·d. Beim ersten Glied wird keine Differenz addiert, also ist a₁ = 2, nicht 5.
- Arithmetisch mit geometrisch verwechseln. Arithmetische Folgen addieren eine feste Differenz d; geometrische Folgen multiplizieren mit einem festen Faktor. Wenn sich deine Abstände immer wieder verdoppeln, brauchst du stattdessen ein Werkzeug für geometrische Folgen.
- Negative Differenzen sind in Ordnung. Eine Differenz von d = −4 ergibt eine fallende Folge; es gelten dieselben Formeln.
Häufig gestellte Fragen
Eine Zahlenliste, bei der sich jedes Glied vom vorherigen um denselben festen Betrag unterscheidet, die sogenannte Differenz. Zum Beispiel hat 3, 7, 11, 15 eine Differenz von 4.
Verwende a_n = a₁ + (n − 1)·d, wobei a₁ das erste Glied, d die Differenz und n die gesuchte Position ist. Dieser Rechner wendet das sofort für dich an.
Mit S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1)·d), was der Anzahl der Glieder mal dem Durchschnitt aus erstem und letztem Glied entspricht. Es funktioniert mit positiven, negativen oder null Differenzen.
Nein. Jede Berechnung läuft in deiner Browsersitzung, und nichts von dem, was du eingibst, wird hochgeladen, gespeichert oder geteilt. Die eingegebenen Zahlen verlassen deine Sitzung nie.
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