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Rechner zum Euler-Verfahren

Schritt 1 / 3 Näherung mit dem Euler-Verfahren

Gleichung und Anfangspunkt eingeben

Für dy/dx = f(x,y) gib nur f(x,y) ein. Verwende * für Multiplikation und ^ für Potenzen. Unterstützte Funktionen: sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. Setze Funktionsargumente in Klammern. Dezimalzahlen im Ausdruck benötigen einen Punkt.

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Nähere ein Anfangswertproblem erster Ordnung der Form dy/dx = f(x,y), bei dem y für einen Anfangswert von x bekannt ist. Gib die rechte Seite der Gleichung, den Anfangspunkt, eine positive Schrittweite und den Zielwert von x ein. Der Rechner führt explizite Euler-Schritte zum Ziel aus und zeigt alle Zwischenwerte. Das Ergebnis ist eine numerische Näherung und keine exakte Lösung.

So verwendest du das Euler-Verfahren

  1. 1

    Differentialgleichung eingeben

    Bei dy/dx = x + y gib x + y als f(x,y) ein. Trage anschließend die bekannten Anfangskoordinaten x und y ein.

  2. 2

    Intervall festlegen

    Gib eine positive Schrittweite h und einen Zielwert von x ein. Der Rechner kann sich zu größeren oder kleineren x-Werten bewegen.

  3. 3

    Näherung ablesen

    Du erhältst den geschätzten y-Wert am Ziel und eine Tabelle mit x, y, Steigung und tatsächlicher Schrittweite für bis zu 200 Schritte.

Was der Rechner berechnet

Ausgehend von (x₀, y₀) wiederholt das explizite Euler-Verfahren yₙ₊₁ = yₙ + hₙ f(xₙ, yₙ) und xₙ₊₁ = xₙ + hₙ. Die Steigung wird jeweils am Anfang des Schritts ausgewertet. Gib eine positive Schrittweite ein: Liegt der Zielwert links vom Anfangspunkt, setzt der Rechner das passende Vorzeichen ein. Ist die verbleibende Strecke kürzer als die gewählte Schrittweite, wird der letzte Schritt verkürzt, um genau beim Zielwert x anzukommen.

Für dy/dx = x + y, y(0) = 1, h = 0,1 und Zielwert x = 0,3:

Schritt x Genähertes y Steigung für den nächsten Schritt
0 0 1 1
1 0,1 1,1 1,2
2 0,2 1,22 1,42
3 0,3 1,362 Ende

In der Ergebnistabelle des Rechners steht die bei einer Aktualisierung verwendete Steigung in der entstandenen Zeile unter „Vorherige Steigung“. Die Steigung 1,42 steht somit bei Schritt 3. Die exakte Lösung dieses Beispiels lautet y = 2eˣ - x - 1 und liefert bei x = 0,3 ungefähr 1,3997. Die Euler-Näherung von 1,362 ist kleiner, weil bei jedem Schritt die Tangente am Schrittanfang benutzt wird. Ein kleineres h verringert bei gutartigem Problem oft den Fehler; wie groß der Fehler ist, hängt jedoch von Gleichung und Intervall ab. Der Rechner schätzt keine Fehlerschranke.

Schreibe Multiplikationen ausdrücklich, etwa 2*x, x*y oder 2*sin(x). Der Ausdruck unterstützt x, y, Klammern, +, -, *, /, ^, die Konstanten pi und e sowie sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. Für Dezimalzahlen im Ausdruck nutze einen Punkt, etwa 0.5*y. In den getrennten Zahlenfeldern sind das lokale Dezimalzeichen oder ein eindeutiger Punkt erlaubt; verwende keine Tausendertrennzeichen.

OpenStax Calculus Volume 2 beschreibt das Euler-Verfahren und seine Rekursion. Das Kapitel zu numerischen Verfahren bei LibreTexts erklärt den Einfluss der Schrittweite auf den Näherungsfehler.

Häufig gestellte Fragen

Gib eine positive Schrittweite ein. Wenn der Zielwert von x kleiner als der Anfangswert ist, geht der Rechner automatisch rückwärts. Die Tabelle zeigt den verwendeten Schritt mit Vorzeichen.

Der letzte Schritt wird auf die verbleibende Strecke verkürzt. Bei h = 0,4 von x = 0 bis x = 1 ergeben sich beispielsweise Schritte von 0,4, 0,4 und 0,2; die Rechnung endet bei x = 1.

Nein. Das explizite Euler-Verfahren folgt lokalen Tangentensteigungen und sammelt Näherungsfehler. Der angezeigte Wert ist eine Schätzung am Zielwert x, weder eine exakte symbolische Lösung noch eine Fehlergarantie.

Der Rechner verarbeitet Differentialgleichungen erster Ordnung, die ausdrücklich als dy/dx = f(x,y) mit einem bekannten Anfangswert von y angegeben sind. Gleichungen höherer Ordnung, Systeme, implizit zu lösende Gleichungen oder Gleichungen, die entlang des angeforderten Weges nicht definiert sind, werden nicht gelöst.

Die Grenze von 200 Schritten hält die Tabelle übersichtlich und vermeidet eine umfangreiche Berechnung im Browser. Erhöhe h oder wähle ein näher gelegenes Ziel, wenn das Intervall mehr Schritte erfordern würde.

Ja. Der CSV-Download enthält ungerundete Zahlenwerte für x und y, die Steigung für das Erreichen jeder Zeile und die zugehörige Schrittweite mit Vorzeichen. Die Tabelle auf dem Bildschirm rundet zur besseren Lesbarkeit.

Die Berechnung läuft in deinem Browser. Beim Ablauf in Schritten werden die Eingaben nur in diesem Browser-Tab gespeichert; die URL enthält eine zufällige Vorgangskennung statt der Gleichung oder ihrer Werte.

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