Hypergeometrischer Rechner

Was die Berechnung bedeutet

N ist der Umfang der Grundgesamtheit, K die Anzahl ihrer Erfolge, n die Anzahl gezogener Elemente und X die Erfolge in der Stichprobe. Es wird ohne Zurücklegen gezogen: Ein gezogenes Element kann nicht erneut gezogen werden.

Für genau k Erfolge gilt:

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

C(a, b) bezeichnet die Anzahl der Möglichkeiten, b Elemente aus a zu wählen. Möglich sind nur max(0, n - (N - K)) bis min(n, K) Erfolge. Ein genauer Zielwert außerhalb dieses Bereichs hat die Wahrscheinlichkeit null, auch wenn er zwischen null und dem Stichprobenumfang liegt. Höchstens k summiert die Einzelwahrscheinlichkeiten bis k, mindestens k die ab k. Daher kann ein kumulatives Ereignis unter oder über dem möglichen Bereich die Wahrscheinlichkeit null oder eins haben.

Beispiel: fünf Ziehungen aus 20 Elementen

Eine Kiste enthält 20 Elemente, davon sieben markierte. Du ziehst fünf ohne Zurücklegen und fragst nach genau zwei markierten Elementen. Gib N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 ein und wähle Genau k.

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15504 = 6006 / 15504 ≈ 0,387384.

Das sind etwa 38,74 %. Für Höchstens k erhältst du P(X ≤ 2) ≈ 0,793215, für Mindestens k P(X ≥ 2) ≈ 0,594169. Beide kumulativen Ereignisse enthalten auch genau zwei Erfolge.

Erwartungswert, Varianz und Unterschied zur Binomialverteilung

Die erwartete Anzahl Erfolge ist n × K / N. Für N > 1 beträgt die Varianz n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1); für N = 1 ist sie null. Der letzte Faktor berücksichtigt, dass sich die Zusammensetzung der verbleibenden Grundgesamtheit ändert.

Die R-Dokumentation zur hypergeometrischen Verteilung beschreibt die zugehörigen Funktionen für Einzelwahrscheinlichkeiten und kumulative Wahrscheinlichkeiten.

Verwende ein Binomialmodell, wenn die Versuche unabhängig sind und jeder dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit hat, etwa beim Ziehen mit Zurücklegen. Das hypergeometrische Modell passt zu einer festen Anzahl Ziehungen aus einer endlichen Grundgesamtheit ohne Zurücklegen. Der Rechner nimmt ganze Zahlen an und berechnet die Verteilung im Browser. Die geführten Schritte speichern die Eingaben vorübergehend in diesem Tab; in einem anderen Tab oder nach Ablauf der Sitzung musst du möglicherweise neu beginnen.

Bei extrem kleinen, aber nicht null betragenden Wahrscheinlichkeiten kann Kleiner als 10^-300 erscheinen, weil gewöhnliche Dezimalzahlen den vollen Wert nicht darstellen können. Die CSV enthält zusätzlich den Zehnerlogarithmus für jedes mögliche Ergebnis, damit du die Größenordnung prüfen kannst.