Schwerpunkt-Rechner

Der Begriff “Schwerpunkt” (englisch “centroid”) bedeutet je nach Ausgangslage etwas Unterschiedliches. Dieser Rechner deckt die drei häufigsten Fälle ab.

Dreieck

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Mittelwert seiner drei Eckpunkte und der Punkt, in dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden. Für die Eckpunkte (x1, y1), (x2, y2) und (x3, y3) gilt:

Cx = (x1 + x2 + x3) / 3 und Cy = (y1 + y2 + y3) / 3

Der Schwerpunkt liegt auf jeder Seitenhalbierenden ein Drittel von der Seite entfernt. Die Fläche ist der halbe Betrag des Kreuzprodukts zweier Seiten.

Punktmenge

Bei einer einfachen Punktmenge ist der Schwerpunkt der Mittelwert der x-Werte und der Mittelwert der y-Werte. Es gibt keinen Umriss, deshalb wird keine Fläche angegeben. Das ist dieselbe Idee wie der Mittelwert einer Punktwolke oder der Schwerpunkt gleich schwerer Massenpunkte.

Polygon (Gaußsche Trapezformel)

Der Schwerpunkt eines Polygons ist nur bei einem Dreieck der Mittelwert der Eckpunkte. Der Rechner läuft die Kanten mit der Gaußschen Trapezformel (Shoelace-Formel) ab. Mit der vorzeichenbehafteten Fläche A, A = 1/2 * sum(xi * yi+1 - xi+1 * yi), ergibt sich der Schwerpunkt:

Cx = 1 / (6A) * sum((xi + xi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

Cy = 1 / (6A) * sum((yi + yi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

Das Vorzeichen von A hängt von der Umlaufrichtung der Eckpunkte ab, der Schwerpunkt und die angezeigte Fläche jedoch nicht. Die Fläche wird als positive Zahl ausgegeben.

Rechenbeispiele

Welche Eingaben gültig sind

• Jede Zeile enthält genau zwei Zahlen. Kommas, Semikolons, Leerzeichen und Tabulatoren funktionieren als Trennzeichen, Klammern um einen Punkt werden ignoriert.
• Ein Polygon braucht mindestens drei verschiedene Eckpunkte. Du darfst den ersten Eckpunkt am Ende wiederholen, er wird automatisch entfernt.
• Der Umriss darf sich weder kreuzen noch selbst berühren. Eine Schleife oder Acht ist kein einfaches Polygon, und der Rechner weist darauf hin, statt eine irreführende Zahl zu liefern.
• Liegen alle Punkte auf einer Geraden, schließen sie keine Fläche ein, daher gibt es bei Dreieck oder Polygon keinen Schwerpunkt.
• Bis zu 200 Punkte, mit Koordinaten bis zu einer Milliarde. Die Ergebnisse werden auf sechs Nachkommastellen gerundet.

Tipps

• Der Schwerpunkt eines konkaven Polygons kann außerhalb der Form liegen, etwa bei einem schmalen U oder C. Die Grafik zeigt das deutlich.
• Wirkt der Schwerpunkt falsch, prüfe die Reihenfolge der Eckpunkte. Werden die Ecken im Zickzack statt entlang des Randes aufgelistet, kreuzt sich der Umriss.
• Die Einheit spielt für den Schwerpunkt keine Rolle: Er kommt in der Einheit heraus, die deine Koordinaten haben. Die Fläche ist diese Einheit zum Quadrat.