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Kombinationen Rechner

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C(n, k), gelesen als “n wähle k”, zählt die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Wählen Sie 3 Toppings aus 10 → C(10, 3) = 120. Geben Sie 5-Karten-Hände aus 52 aus → C(52, 5) = 2.598.960. Der Rechner verarbeitet n bis 170, liefert das exakte ganzzahlige Ergebnis mit arithmetischer Berechnung beliebiger Genauigkeit (keine Rundung durch wissenschaftliche Notation) und zeigt zusätzlich die passende Permutationsanzahl P(n, k).

Wie Kombinationen berechnet werden

  1. 1

    Geben Sie n und k ein

    Beides nicht-negative ganze Zahlen mit k ≤ n. n ist die Poolgröße; k ist die Auswahlgröße. Werte über 170 werden begrenzt.

  2. 2

    Angewandte Formel

    C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Das Tool berechnet auch P(n, k), die Anzahl der geordneten Auswahlen.

  3. 3

    Exakte ganzzahlige Ausgabe

    Die Berechnung nutzt exakte Ganzzahl-Arithmetik, daher gehen keine Ziffern verloren, selbst bei Werten wie C(170, 85).

  4. 4

    Beide Ergebnisse angezeigt

    Kombinationen C(n, k) und Permutationen P(n, k) werden zusammen angezeigt; P(n, k) = C(n, k) × k!.

Die Formel

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Äquivalent: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

Anwendungsbeispiele

  • C(10, 3) = 120: Möglichkeiten, 3 Toppings aus 10 auszuwählen.
  • C(52, 5) = 2.598.960: 5-Karten-Pokerhände aus einem Standarddeck.
  • C(49, 6) = 13.983.816: Hauptziehungskombinationen der UK National Lottery.
  • C(70, 5) × 25 = 302.575.350: Mega-Millions-Jackpot-Kombinationen (5 Hauptkugeln aus 70 + 1 Mega-Kugel aus 25).
  • C(100, 50) ≈ 1,01 × 10²⁹: Teilmengen einer 100-Elemente-Menge.

Kombinationen vs Permutationen

  • Kombination C(n, k): Reihenfolge spielt keine Rolle. {A, B, C} ist dasselbe wie {C, B, A}.
  • Permutation P(n, k): Reihenfolge spielt eine Rolle. {A, B, C} unterscheidet sich von {C, B, A}.
  • Beziehung: P(n, k) = C(n, k) × k!

Lotteriezahlen sind Kombinationen (Reihenfolge der Kugeln spielt keine Rolle). Rennplatzierungen sind Permutationen (erste, zweite, dritte zählen).

Pascalsches Dreieck

C(n, k) bildet das Pascalsche Dreieck, wenn es angeordnet ist:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Jeder Eintrag C(n, k) ist die Summe der beiden Einträge darüber: C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Symmetrisch: C(n, k) = C(n, n-k).

Eigenschaften

  • C(n, 0) = C(n, n) = 1: nur eine Möglichkeit, nichts oder alles auszuwählen.
  • C(n, 1) = n: n Möglichkeiten, ein Element auszuwählen.
  • Summe der Zeile n: Σ C(n, k) von k=0 bis n = 2ⁿ. Gesamte Teilmengen einer n-Elemente-Menge.
  • Hockeyschläger: Σ C(i, k) von i=k bis n = C(n+1, k+1).

Anwendungen in der realen Welt

  • Lotteriequoten: 1 / C(n, k) für exakt gezogene Zahlen.
  • Stichprobenentwurf: Auswahl von Testgruppen aus einer Population.
  • Genetik: Zählen möglicher Nachkommen-Genotypen.
  • Zeitplanung: Rundenturniere benötigen C(Teams, 2) Spiele.
  • Binomialverteilung: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).
  • Ausschussauswahl: Möglichkeiten, einen Ausschuss von 5 aus 20 Mitgliedern zu bilden = C(20, 5) = 15.504.

Große Zahlen: trotzdem exakt

Die Ergebnisse wachsen schnell: C(100, 50) hat bereits 30 Ziffern. Der Rechner begrenzt n auf 170, was alle praktischen Anwendungen wie Lotterien, Ausschüsse und Stichproben abdeckt, und bleibt dabei immer exakt, weil die Berechnung Ganzzahl-Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit nutzt statt Gleitkommazahlen.

Häufig gestellte Fragen

Das Auswählen von k Elementen zum Einschließen ist mathematisch äquivalent zum Auswählen von n-k Elementen zum Ausschließen. Gleiche Anzahl von Anordnungen. C(10, 3) = C(10, 7) = 120.

C(n, k) = 0 nach Konvention, wenn k > n, Sie können nicht mehr Elemente auswählen, als Sie haben. Der Rechner kennzeichnet dies und gibt 0 zurück.

Der Rechner akzeptiert n bis 170 und liefert immer die exakte ganze Zahl. Bei Standard-Lotterie- und Wahrscheinlichkeitsproblemen liegt n fast immer unter 100.

Nein. “Kombinationen mit Wiederholung” (auch als Multimengen bezeichnet) verwenden eine andere Formel: C(n+k−1, k), die dieses Tool nicht berechnet. Behandeln Sie diesen Fall als eigenständiges Problem.

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