Quadratische Ergänzung Rechner
Gegeben ist eine quadratische Funktion ax²+bx+c, die quadratische Ergänzung schreibt sie als a(x-h)²+k um, wodurch der Scheitelpunkt der Parabel (h, k) direkt sichtbar wird. Gib a, b und c ein und der Rechner liefert die Scheitelpunktform a(x − h)² + k zusammen mit den Scheitelpunktkoordinaten (h, k). Nützlich für Analysis, Physik (Wurfbewegung), Optimierungsprobleme und Algebra-Hausaufgaben.
Wie die quadratische Ergänzung funktioniert
-
1
Gib die Koeffizienten a, b, c ein
Die quadratische Funktion ax² + bx + c. Gib Dezimalzahlen ein; einen Bruch wie 1/2 gibst du als 0,5 ein.
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2
a aus den x²- und x-Termen ausklammern
a(x² + (b/a)x) + c, trennt die Konstante von den x-Termen.
-
3
Addiere und subtrahiere (b/(2a))²
Erzeugt ein perfektes Quadrat: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.
-
4
Zusammenfassen zur Scheitelpunktform
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a(x − h)² + k, wobei h = −b/(2a) und k = c − b²/(4a).
Beispiel: 2x² + 8x + 5
Schritt 1, a = 2 aus den x-Termen ausklammern: 2(x² + 4x) + 5
Schritt 2, die Hälfte von 4 ist 2, quadriert ist 4. Füge 4 hinzu und subtrahiere 4: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5
Schritt 3, in perfektes Quadrat und Rest aufteilen: 2((x + 2)² − 4) + 5
Schritt 4, 2 verteilen: 2(x + 2)² − 8 + 5
Schritt 5, Konstante vereinfachen: 2(x + 2)² − 3
Scheitelpunktform: a = 2, h = −2, k = −3 → Scheitelpunkt bei (−2, −3).
Die allgemeine Formel
Für ax² + bx + c:
- h = −b / (2a)
- k = c − b² / (4a)
- Scheitelpunktform: a(x − h)² + k
Warum die quadratische Ergänzung?
- Scheitelpunkt sofort finden für das Skizzieren von Parabeln.
- Quadratische Gleichungen lösen ohne die Mitternachtsformel, besonders nützlich für irrationale Wurzeln.
- Die quadratische Formel selbst ableiten: die quadratische Ergänzung von ax² + bx + c = 0 ergibt x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Analysis: Extremstellen von Quadraten finden, ohne Ableitungen zu nehmen.
- Wurfbewegung: Die maximale Höhe eines nach oben geworfenen Balls ist das k in der Scheitelpunktform seiner Höhenformel.
- Kreise und Kegelschnitte: Die quadratische Ergänzung sowohl für x- als auch für y-Terme wandelt x² + y² + Dx + Ey + F = 0 in (x−h)² + (y−k)² = r² um, wodurch Zentrum und Radius offensichtlich werden.
Parabelgeometrie aus der Scheitelpunktform
- Scheitelpunkt: (h, k).
- Symmetrieachse: x = h.
- Öffnet sich nach oben, wenn a > 0, nach unten, wenn a < 0.
- Maximal- oder Minimalwert der Funktion: k.
- Breite: schmaler für |a| > 1, breiter für |a| < 1.
- Wurzeln (wenn reell): x = h ± √(−k/a). Reell nur wenn k/a ≤ 0.
Häufige Fehler
- Vergessen, a zu verteilen, nachdem die quadratische Ergänzung innerhalb der Klammern durchgeführt wurde. Der Korrekturterm ändert sich.
- Vorzeichenfehler bei b/(2a): h = −b/(2a), nicht +b/(2a).
- Die mittlere Koeffizienten nicht halbieren, bevor man quadriert. “Die Hälfte von b über a, dann quadrieren” ist der kanonische Satz.
- a ≠ 1 nicht herausfaktorisieren: immer zuerst herausfaktorisieren, um zu vereinfachen.
Sonderfall: a = 1
Wenn a = 1, vereinfacht sich der Prozess:
- x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
- h = −b/2, k = c − b²/4
Negatives k bedeutet reelle Wurzeln
Wenn k das entgegengesetzte Vorzeichen von a hat, schneidet die Parabel die x-Achse. Löse a(x − h)² = −k, um sie zu finden.
Häufig gestellte Fragen
Die quadratische Ergänzung zeigt direkt den Scheitelpunkt (Form der Grafik), während die Mitternachtsformel die Wurzeln liefert. Beide haben ihre Anwendungen: Wurzeln, wenn du wissen willst, wo y = 0 ist, Scheitelpunktform, wenn du die Form, das Maximum, Minimum oder die Symmetrieachse möchtest.
Gib die Koeffizienten als Dezimalzahlen ein; Brüche wie 1/2 oder 3/4 werden als 0,5 oder 0,75 getippt. Die Ergebnisse werden mit der üblichen Gleitkommagenauigkeit eines Taschenrechners berechnet.
Diese Version behandelt Quadrate in einer einzelnen Variablen. Für Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen) in x und y, führe die quadratische Ergänzung in jeder Variablen separat durch, der Prozess ist identisch, wird zweimal angewendet.
Die Scheitelpunktform funktioniert weiterhin, die Parabel schneidet die x-Achse nur nicht, es gibt also keine reellen Wurzeln. Der Rechner liefert weiterhin die Scheitelpunktform und die Scheitelpunktkoordinaten.
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