Rechner für komplexe Zahlen

Die vier Rechenoperationen

Für z₁ = a + bi und z₂ = c + di ergibt sich die Arithmetik direkt daraus, dass man i als Symbol mit i² = −1 behandelt:

• Summe: (a + c) + (b + d)i
• Differenz: (a − c) + (b − d)i
• Produkt: (ac − bd) + (ad + bc)i
• Quotient: Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen von z₂ multiplizieren: [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

Die Division ist nur definiert, wenn der Nenner c² + d² ungleich null ist, also immer dann, wenn z₂ nicht 0 + 0i ist.

Betrag und Argument von z₁

Der Betrag ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt (a, b) in der komplexen Ebene: |z₁| = √(a² + b²). Das Argument ist der Winkel, den z₁ mit der positiven reellen Achse bildet, berechnet mit dem Arkustangens mit zwei Argumenten arg(z₁) = atan2(b, a) und hier in Grad angegeben, im Bereich von −180° bis 180°.

Durchgerechnetes Beispiel

Seien z₁ = 3 + 2i und z₂ = 1 + 4i.

Häufige Fehler

• i² = −1 vergessen. Beim Multiplizieren wechselt der Term bd·i² das Vorzeichen und geht in den Realteil über; deshalb ist der Realteil des Produkts ac − bd und nicht ac + bd.
• Ohne das Konjugierte dividieren. Du kannst (a + bi)/(c + di) nicht gliedweise aufteilen; multipliziere zuerst mit (c − di)/(c − di).
• Grad und Bogenmaß vermischen. Das Argument ist hier in Grad angegeben; viele Programmiersprachen geben aus atan2 das Bogenmaß zurück. Multipliziere mit 180/π, um umzurechnen.
• Quadrantenfehler. Verwende atan2 und nicht den einfachen arctan(b/a), sonst landet der Winkel für Punkte mit negativem Realteil im falschen Quadranten.