Kegelvolumenrechner
Ein Kegel ist ein Drittel seines umschreibenden Zylinders, eine Tatsache, die die Griechen geometrisch bewiesen haben und die jeder Ingenieur heute als Plausibilitätsprüfung nutzt. Dieser Rechner berechnet das Volumen eines Kegels aus dem Basisradius und der senkrechten Höhe und zeigt außerdem die Seitenlinie, die Mantelfläche und die gesamte Oberfläche. Praktisch für Haufenvolumen, Trichter, Partyhüte und Bohrspitzen: Messen Sie den Radius, oder messen Sie den Durchmesser und halbieren Sie ihn, dann geben Sie ihn zusammen mit der Höhe ein.
So berechnen Sie das Kegelvolumen
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1
Radius eingeben
Der Abstand von der Mitte der kreisförmigen Grundfläche bis zum Rand. Wenn Sie den Durchmesser gemessen haben, teilen Sie ihn zuerst durch 2.
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2
Höhe eingeben
Die senkrechte Höhe von der Mitte der Grundfläche bis zur Spitze, rechtwinklig zur Grundfläche gemessen.
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3
Ergebnisse ablesen
Volumen, Seitenlinie, Mantelfläche und gesamte Oberfläche werden angezeigt und aktualisieren sich live beim Tippen.
Formeln
Volumen: V = (1/3) × π × r² × h
Seitenlinie: s = √(r² + h²), der Abstand von der Spitze zum Rand der Grundfläche, entlang der Seite gemessen.
Mantelfläche (die gekrümmte Seite, ohne Grundfläche): A = π × r × s
Gesamte Oberfläche (Seite plus Grundfläche): A = π × r × (r + s)
Schnelle Plausibilitätsprüfung
Ein Kegel mit Radius 3 und Höhe 9 hat ein Volumen von (1/3) × π × 9 × 9 = 27π ≈ 84,82. Der umschließende Zylinder hätte π × 9 × 9 = 81π ≈ 254,47, also genau dreimal so viel wie der Kegel. Wenn Ihr Rechner anderer Meinung ist, haben Sie wahrscheinlich den Durchmesser eingegeben, wo der Radius gewünscht war.
Radius gegen Durchmesser: der klassische Fehler
Die Formel verlangt Radius, nicht Durchmesser. Wenn Sie mit einem Maßband über eine kreisförmige Grundfläche messen, erhalten Sie den Durchmesser; teilen Sie ihn durch 2, bevor Sie ihn einsetzen. Verdoppeln Sie diesen Fehler, verdoppelt sich der lineare Term, und das Volumen vervierfacht sich.
Wo das Kegelvolumen auftaucht
| Anwendung | Was der Kegel darstellt |
|---|---|
| Schüttgut-Schätzungen | Kies, Salz, Getreidehaufen (Ruhewinkel ~30-40°) |
| Trichter und Behälter | Kegel mit abgeschnittener Spitze, parallel zur Grundfläche |
| Verkehrshütchen | Näherung eines vollen Kegels |
| Eistüten | Klassisches Beispiel, abgerundete Spitze |
| Bohrer | Spitze ist ein Kegel, Schaft ist ein Zylinder |
Schüttgut-Schätzung
Für einen freistehenden Materialhaufen mit einem Ruhewinkel θ, der auf einer kreisförmigen Fläche mit Radius r geschüttet wird, beträgt die Höhe r × tan(θ), was ein Volumen von (π × r³ × tan(θ)) / 3 ergibt. Kies hat θ ≈ 37°, ein Haufen mit 3 m Durchmesser (r = 1,5) ist also etwa 1,13 m hoch und enthält rund 2,66 m³, eine nützliche Kontrolle, wenn eine Lkw-Ladung ankommt.
Häufig gestellte Fragen
(1/3) × π × 25 × 10 = 250π / 3 ≈ 261,8 Kubikeinheiten. Kubikzoll, wenn Sie in Zoll gemessen haben, Kubikmeter, wenn Sie in Metern gemessen haben.
Ja, wenn sie denselben Basisradius und dieselbe Höhe haben. Das ist ein klassisches Ergebnis: V_cone = V_cylinder / 3. Es gilt für jeden spitzen Körper mit geradem Verlauf.
Die Seitenlinie ist der Abstand von der Spitze zum Rand der Grundfläche, entlang der Seite des Kegels gemessen. Sie ist nicht die senkrechte Höhe: Der Rechner leitet sie als s = √(r² + h²) ab und verwendet sie für die Mantelfläche und die gesamte Oberfläche.
Nein. Solange die Spitze über der Grundflächenebene liegt (bei jeder Neigung), bleibt das Volumen (1/3) × Grundfläche × senkrechte Höhe. Nur der Versatz von der Spitze zur Mitte ändert die Form, nicht das Volumen.
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