Korrelationskoeffizienten-Rechner
Der Pearson-Korrelationskoeffizient (r) quantifiziert die lineare Beziehung zwischen zwei Variablen, also wie eng sie sich gemeinsam verändern. Dieser Rechner nimmt gepaarte X/Y-Werte und berechnet r und r-Quadrat (den Anteil der erklärten Varianz) sowie die Anzahl der verwendeten Paare.
So berechnen Sie die Korrelation
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1
Gepaarte Daten einfügen
Ein X-Wert und ein Y-Wert pro Zeile, durch Kommas oder Tabs getrennt. Oder aus einer Tabelle einfügen.
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2
Berechnung durchführen
Der Rechner paart sie, berechnet Mittelwerte, Abweichungen und die Pearson-Formel.
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3
r und r² ablesen
r reicht von -1 bis +1. r² ist das Quadrat davon, interpretierbar als Prozentsatz der gemeinsamen Varianz.
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4
Stichprobengröße beachten
Prüfen Sie die Anzahl der Paare (n), die zusammen mit den Ergebnissen angezeigt wird. Bei kleinen Stichproben ist r unzuverlässig, daher sollte n immer zusammen mit r angegeben werden.
Die Formel
r = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / √(Σ(xᵢ - x̄)² × Σ(yᵢ - ȳ)²)
Äquivalent: r = cov(X, Y) / (σ_X × σ_Y). Es ist die Kovarianz, normalisiert durch das Produkt der Standardabweichungen, was das Ergebnis in [-1, +1] zwingt.
r interpretieren
| r-Wert | Lineare Beziehung |
|---|---|
| ±0,9 bis ±1,0 | Sehr stark |
| ±0,7 bis ±0,9 | Stark |
| ±0,5 bis ±0,7 | Mäßig |
| ±0,3 bis ±0,5 | Schwach |
| ±0,0 bis ±0,3 | Sehr schwach oder keine |
r² (Bestimmtheitsmaß) ist der Anteil der Varianz in Y, der durch ein lineares Modell in X erklärt wird. r = 0,7 bedeutet r² = 0,49, etwa die Hälfte der Varianz ist linear, die andere Hälfte nicht.
Wenn Pearson das falsche Werkzeug ist
Pearson geht von einer linearen Beziehung mit ungefähr normalen Daten und keinen großen Ausreißern aus. Es versagt stark bei:
- Gekrümmten Beziehungen: y = x² im Bereich [-5, 5] hat r = 0, obwohl es perfekt vorhersagbar ist.
- Ausreißern: Ein einzelner Punkt, der 5 Standardabweichungen entfernt ist, kann r verdoppeln oder halbieren.
- Rangdaten: Verwenden Sie stattdessen Spearmans ρ (Korrelation der Ränge).
- Binär oder kategorial: Verwenden Sie je nach Datentyp die punktbiseriale Korrelation, den Phi-Koeffizienten oder Cramérs V.
Korrelation ist nicht Kausalität: der Klassiker
Zwei Variablen können stark korrelieren, weil:
- X verursacht Y.
- Y verursacht X.
- Eine dritte Variable Z verursacht beide (Verwirrung).
- Reiner Zufall (bei kleinen Stichproben).
- Auswahlverzerrung bei der Datenerhebung.
Eisverkauf und Ertrinkungstode korrelieren mit +0,8 über die Sommermonate. Eis verursacht kein Ertrinken, heißes Wetter verursacht beides.
Stichprobengröße und Signifikanz
Ein r aus einer kleinen Stichprobe kann irreführend sein. Für n = 5 ist r = 0,5 statistisch nicht von null unterscheidbar (p ≈ 0,4). Für n = 100 ist r = 0,2 eindeutig ungleich null (p < 0,05). Berichten Sie immer die Stichprobengröße zusammen mit r. Ein p-Wert für r testet die Nullhypothese, dass die wahre Korrelation null ist.
Häufig gestellte Fragen
Eine moderate positive lineare Beziehung. r² = 0,25, also werden etwa 25 % der Varianz in Y linear durch X erklärt; 75 % bleiben unerklärt. Das ist ein echter Effekt, aber weit entfernt von deterministisch.
Nein, per Konstruktion. Wenn Ihr Ergebnis außerhalb von [-1, 1] liegt, hat die Berechnung einen Fehler, typischerweise durch falsch gepaarte Daten oder durch Berechnung der Kovarianz ohne Normalisierung durch die Standardabweichungen.
Pearson für lineare Beziehungen in kontinuierlichen Daten ohne große Ausreißer. Spearman (Korrelation der Ränge) für monotone, aber nicht-lineare Beziehungen oder wenn Ausreißer Pearson beeinflussen.
Nein. Es ist eine Beschreibung der Stichprobe, die Sie haben, keine Vorhersage. Kreuzvalidierung, ein zurückgehaltener Testdatensatz oder ein Konfidenzintervall für r sind die ehrlichen Möglichkeiten, die Stabilität zu überprüfen.
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