Kovarianzrechner
Die Kovarianz misst, wie zwei Variablen gemeinsam variieren. Positive Kovarianz bedeutet, dass sie dazu neigen, sich in die gleiche Richtung zu bewegen, negative bedeutet, dass sie sich entgegengesetzt bewegen, und null bedeutet keine lineare Beziehung. Im Gegensatz zur Korrelation ist die Kovarianz in den ursprünglichen quadrierten Einheiten, sodass ihre Größe ohne Kontext schwer zu interpretieren ist. Dieser Rechner gibt sowohl die Stichprobenkovarianz (geteilt durch n-1) als auch die Populationskovarianz (geteilt durch n) zurück.
Wie man die Kovarianz berechnet
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1
Gepaarte X/Y-Daten einfügen
Eine X und eine Y pro Zeile. Komma-, Tabulator- oder Leerzeichen-getrennt. Gleiche Anzahl in jeder Spalte.
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2
Beide Versionen werden angezeigt
Der Rechner zeigt immer beides: die Stichprobenkovarianz (geteilt durch n-1) und die Populationskovarianz (geteilt durch n).
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3
Berechnung durchführen
Der Rechner berechnet die Mittelwerte, die Kreuzabweichungen und teilt durch n oder n-1.
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4
Das Ergebnis lesen
Lesen Sie die beiden Kovarianzwerte ab. Ein positiver Wert bedeutet, dass sich die Variablen tendenziell gemeinsam bewegen, ein negativer, dass sie sich gegenläufig bewegen.
Formeln
Stichprobenkovarianz: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)
Populationskovarianz: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n
Der Divisor n - 1 (Bessels Korrektur) macht die Stichprobenkovarianz zu einem unverzerrten Schätzer der Populationskovarianz. Statistische Software verwendet standardmäßig die Stichprobenversion.
Das Vorzeichen ist entscheidend
| Vorzeichen | Bedeutung |
|---|---|
| Positiv | X und Y neigen dazu, gemeinsam über/unter ihren Mittelwerten zu liegen |
| Negativ | X über dem Mittelwert neigt dazu, mit Y unter dem Mittelwert gepaart zu werden |
| Null | Kein lineares Muster (kann trotzdem nicht-linear sein) |
Die Größe hängt von den Einheiten ab: cov(größe_cm, gewicht_kg) für Erwachsene liegt bei etwa +70, aber wenn man die Körpergröße in Metern angibt, sinkt sie auf +0,7 – dieselbe Beziehung, andere Zahl. Deshalb wird häufiger die Korrelation berichtet.
Kovarianz vs. Korrelation
Korrelation = Kovarianz / (σ_X × σ_Y)
Korrelation ist die einheitenfreie Version, immer in [-1, +1], vergleichbar über Datensätze hinweg. Kovarianz ist hauptsächlich innerhalb von Formeln (Portfolio-Varianz, Regression, PCA) nützlicher als als zusammenfassende Statistik.
Wo Kovarianz direkt verwendet wird
- Portfoliotheorie: Portfolio-Varianz = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ). Sie benötigen Kovarianz, nicht Korrelation, da die Gewichte und Varianzen wichtig sind.
- Lineare Regression: die Steigungsabschätzung β = cov(X, Y) / var(X).
- Hauptkomponentenanalyse (PCA): die Kovarianzmatrix wird diagonalisiert.
- Signalverarbeitung: Kreuzkovarianz misst die Ähnlichkeit zwischen Signalen bei unterschiedlichen Verzögerungen.
Häufige Fehler
- n und n-1 verwechseln: Stichproben- und Populationskovarianz können bei kleinen Datensätzen um einige Prozent abweichen und Reproduzierbarkeitsprobleme verursachen. Entscheiden Sie, was Sie benötigen, und geben Sie es an.
- Größe interpretieren: Eine Kovarianz von 50 ist nicht “groß” für sich allein; sie hängt vollständig von den Einheiten und der Varianz von X und Y ab.
- Annehmen, dass null Kovarianz = Unabhängigkeit bedeutet: Nullkovarianz bedeutet keine lineare Beziehung. Zwei Variablen können eine Kovarianz von 0 haben und dennoch perfekt nicht-linear vorhersehbar sein (z.B. Y = X² bei symmetrischem X).
Häufig gestellte Fragen
Stichprobe (teilen durch n-1), wenn Ihre Daten eine Stichprobe einer größeren Population sind, der normale Fall in der Forschung. Population (teilen durch n) nur, wenn Ihr Datensatz buchstäblich jede mögliche Beobachtung enthält. Standardmäßig Stichprobe, es sei denn, Sie sind sich sicher.
Weil die Kovarianz im Produkt der beiden Einheiten liegt. Wenn X in Euro und Y in Stück ist, ist die Kovarianz in Euro-Stück. Rechnen Sie in die Korrelation um (teilen durch σ_X × σ_Y), wenn Sie eine einheitenfreie Zahl möchten.
Nein. |cov(X, Y)| ≤ σ_X × σ_Y (Cauchy-Schwarz). Gleichheit gilt nur, wenn Y eine perfekte lineare Funktion von X ist. Wenn Ihr Rechner eine größere Kovarianz anzeigt, gibt es einen Fehler.
Nicht unbedingt. Nullkovarianz bedeutet keine lineare Beziehung. Die Funktion Y = sin(X) auf [0, 2π] hat eine Kovarianz von 0 mit X, ist aber perfekt bestimmt. Nur für gemeinsam normalverteilte Variablen impliziert null Kovarianz Unabhängigkeit.
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