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Kreuzprodukt-Rechner

Schritt 1 / 3 Kreuzprodukt (A × B)
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Das Kreuzprodukt zweier 3D-Vektoren ergibt einen dritten Vektor, der zu beiden senkrecht steht. Seine Länge entspricht der Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen, und seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel. Dadurch ist es unverzichtbar für Flächennormalen in der 3D-Grafik, für Drehmoment und Drehimpuls in der Physik und für jede Geometrie, die eine senkrechte Richtung benötigt. Gib die Komponenten der Vektoren A und B ein, und dieses Werkzeug liefert A × B als (x, y, z) samt seinem Betrag, wobei sich das Ergebnis direkt beim Tippen aktualisiert.

So berechnest du ein Kreuzprodukt

  1. 1

    Vektor A eingeben

    Gib die drei Komponenten ax, ay und az des ersten Vektors ein.

  2. 2

    Vektor B eingeben

    Gib die drei Komponenten bx, by und bz des zweiten Vektors ein.

  3. 3

    Ergebnis ablesen

    Der senkrechte Vektor A × B wird als (x, y, z) zusammen mit seinem Betrag angezeigt.

Die Formel

Für die Vektoren A = (ax, ay, az) und B = (bx, by, bz) lautet das Kreuzprodukt:

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

Jede Komponente ist eine 2×2-Determinante der beiden anderen Achsen, wobei das Vorzeichen des mittleren Terms umgekehrt wird. Eine praktische Merkhilfe ist die Entwicklung der Determinante entlang der Einheitsvektoren i, j, k.

Rechenbeispiel

Nehmen wir A = (1, 2, 3) und B = (4, 5, 6):

  • x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
  • y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
  • z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

Also ist A × B = (−3, 6, −3). Sein Betrag ist √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7,348. Du kannst nachprüfen, dass das Ergebnis senkrecht steht: A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓

Wichtige Eigenschaften

Eigenschaft Aussage
Antikommutativ A × B = −(B × A)
Parallele Vektoren A × A = 0 (jedes parallele Paar ergibt 0)
Betrag |A × B| = |A| · |B| · sin(θ)
Senkrecht (A × B) ⊥ A und (A × B) ⊥ B
Richtung Rechte-Hand-Regel von A nach B

Häufige Fallstricke

  • Die Reihenfolge zählt. Das Vertauschen der Vektoren kehrt das Vorzeichen jeder Komponente um, weil das Kreuzprodukt antikommutativ ist.
  • Das Kreuzprodukt gibt es nur in 3D. Anders als das Skalarprodukt ist A × B für dreidimensionale Vektoren definiert (ein 7D-Analogon existiert, wird aber selten verwendet). Bei 2D-Vektoren füllst du die fehlende z mit 0 auf.
  • Vorzeichen des mittleren Terms. Die y-Komponente ist az·bx − ax·bz, nicht ax·bz − az·bx: Der j-Term wird in der Determinantenentwicklung subtrahiert, und genau dort passieren die meisten Fehler beim Rechnen von Hand.
  • Parallele Vektoren ergeben null. Zeigen A und B in dieselbe Richtung (θ = 0), ist das Ergebnis der Nullvektor, da sin(0) = 0 ist.

Häufig gestellte Fragen

Das Skalarprodukt liefert eine einzelne Zahl (einen Skalar) und misst, wie parallel zwei Vektoren sind. Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der zu beiden senkrecht steht, und misst, wie senkrecht sie zueinander sind. Sie beantworten gegensätzliche Fragen.

Nicht direkt: Das Kreuzprodukt ist für 3D-Vektoren definiert. Für zwei 2D-Vektoren kannst du die z-Komponente auf 0 setzen; das Ergebnis hat dann nur eine z-Komponente gleich ax·by − ay·bx, oft „2D-Kreuzprodukt“ oder vorzeichenbehaftete Fläche genannt.

Der Betrag entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms und ist außerdem |A| · |B| · sin(θ), wobei θ der Winkel zwischen ihnen ist. Die Hälfte davon ist die Fläche des von A und B gebildeten Dreiecks.

Nein. Die Komponenten werden nur zur Berechnung an den Server gesendet und weder in einer Datenbank gespeichert noch nach dem Schließen der Seite aufbewahrt.

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