Kubische Gleichungs-Löser
Eine kubische Gleichung hat die allgemeine Form ax³ + bx² + cx + d = 0 und hat immer drei Wurzeln über den komplexen Zahlen. Geben Sie die vier Koeffizienten ein und der Löser gibt sie mit der Formel von Cardano zurück: drei reelle Wurzeln, wenn die Diskriminante nicht positiv ist, eine reelle Wurzel plus ein komplexes Konjugat-Paar, wenn die Diskriminante positiv ist, und eine doppelte Wurzel, wenn die Diskriminante null ist.
Wie der Löser die Wurzeln findet
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1
Geben Sie die Koeffizienten ein
Vier Zahlen: a, b, c, d. Der führende Koeffizient a muss ungleich null sein, andernfalls ist die Gleichung quadratisch, nicht kubisch.
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2
Reduzierte kubische Gleichung
Der Löser verschiebt die Gleichung um -b/(3a), um den quadratischen Term zu eliminieren, und erzeugt die Form `t³ + pt + q = 0`.
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3
Diskriminantenprüfung
Δ = (q/2)² + (p/3)³ entscheidet den Weg: Δ > 0 gibt eine reelle Wurzel, Δ = 0 gibt eine doppelte Wurzel, Δ < 0 gibt drei reelle Wurzeln über Trigonometrie.
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4
Zurückverschieben
Jede Wurzel, die im t-Raum gefunden wird, wird um -b/(3a) verschoben, um x wiederherzustellen. Der Löser gibt sie in absteigender Reihenfolge zurück, wo dies zutrifft.
Diskriminantenfälle und was sie bedeuten
Die Methode von Cardano verläuft durch einen von drei Zweigen, abhängig vom Vorzeichen der Diskriminante Δ = (q/2)² + (p/3)³. Die Geometrie des kubischen Graphen spiegelt dies genau wider.
Falltabelle
| Diskriminante | Wurzeln | Graphform |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 1 reell, 2 komplexe Konjugierte | Schneidet die x-Achse einmal |
| Δ = 0 | 3 reell, mindestens zwei gleich | Berührt die x-Achse an einer doppelten Wurzel |
| Δ < 0 | 3 verschiedene reelle Wurzeln | Schneidet die x-Achse dreimal |
Beispiel
Für x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (Koeffizienten 1, −6, 11, −6):
- Verschiebung um −b/(3a) = 2 ergibt die reduzierte Form: p = −1, q = 0.
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, wir nehmen also den Weg der drei reellen Wurzeln (trigonometrisch).
- Die trigonometrische Formel liefert die drei verschiedenen reellen Wurzeln x = 1, 2, 3.
Numerische Überlegungen
- Gleitkommafehler schleicht sich ein, wenn die drei Wurzeln nahe beieinander liegen (eine fast dreifache Wurzel). Angezeigte Wurzeln können sich in den letzten Dezimalstellen von den genauen Werten unterscheiden.
- Sehr kleines a macht b/(3a) groß, was die Arithmetik dominiert und die Präzision verringert. Wenn
|a|unter etwa 1e-12 liegt, lösen Sie stattdessen als quadratische Gleichung. - Ganzzahlige Koeffizienten geben die saubersten Ausgaben: rationale Wurzeln erscheinen an ihren genauen Werten bis zur Gleitkomma-Rundung.
Verwandte Gleichungen
- Quadratisch:
ax² + bx + c = 0. Verwenden Sie den Quadratischen Gleichungs-Löser, geschlossene Form und einfacher. - Quartisch:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Ferraris Methode reduziert sich auf eine resolvente kubische Gleichung; hier nicht behandelt. - Reduzierte kubische Gleichung: Setzen Sie b = 0, um die Verschiebung zu überspringen und
x³ + px + q = 0direkt einzugeben.
Häufig gestellte Fragen
Die Gleichung ist nicht mehr kubisch. Der Löser weigert sich, in diesem Fall fortzufahren, wechseln Sie zum Quadratischen Gleichungs-Löser für bx² + cx + d = 0.
Der Löser gibt in diesem Fall die einzelne reelle Wurzel zurück. Die anderen beiden Wurzeln sind ein komplexes Konjugat-Paar, das die Formel von Cardano in geschlossener Form liefert; berechnen Sie sie als -x1/2 ± (√3/2) × i × Betrag, wenn Sie sie für eine symbolische Antwort benötigen.
Numerische Implementierungen der Methode von Cardano können Residuen in der Größenordnung von 1e-15 aufgrund von Gleitkomma-Rundung erzeugen. Behandeln Sie alles unter 1e-10 als reell; dieser Löser filtert bereits diese Residuen für den Δ < 0-Zweig heraus.
Die vier Koeffizienten werden nur an den Server gesendet, um die Wurzeln zu berechnen, und nicht gespeichert. Wenn du die Schritt-für-Schritt-Ansicht nutzt, erscheinen die Koeffizienten auch im Seitenlink.
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