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Rechenraute lösen

Schritt 1 / 3 Rechenraute lösen

Fülle genau zwei der vier Felder aus und lass die anderen beiden leer. Fülle genau zwei Felder aus und lass die anderen beiden leer.

Weiter: Art der Lösung

Bei einer Rechenraute sucht man zwei Zahlen, von denen man weiß, wie sie zusammenhängen: Ihr Produkt steht oben in der Raute, ihre Summe unten, und die beiden Zahlen selbst links und rechts. Trage beliebige zwei der vier Werte ein, und dieser Rechner findet die anderen beiden, zeichnet die fertige Raute und prüft das Ergebnis. Sie ist die klassische Vorübung zum Faktorisieren quadratischer Terme wie x² + 7x + 12, bei dem du zwei Zahlen brauchst, die multipliziert 12 und addiert 7 ergeben.

So löst du eine Rechenraute

  1. 1

    Genau zwei Werte eingeben

    Fülle zwei der Felder Faktor a, Faktor b, Produkt und Summe aus und lass die anderen beiden leer. Negative Zahlen und Dezimalzahlen sind erlaubt.

  2. 2

    Die Art der Lösung wählen

    Wähle beliebige Zahlen oder nur ganze Zahlen. Der Modus für ganze Zahlen entspricht den Aufgaben im Schulbuch und meldet, wenn keine ganzen Zahlen passen.

  3. 3

    Die Raute ablesen

    Das Ergebnis zeigt a und b sowie Produkt und Summe als Raute, dazu eine Probe: a + b ergibt die Summe und a × b das Produkt.

Wie die fehlenden Werte berechnet werden

Jede Raute folgt zwei Regeln: a + b = Summe und a × b = Produkt. Welche zwei Werte du kennst, bestimmt den Rechenweg.

Bekannt Der Rechner berechnet
a und b Produkt = a × b, Summe = a + b
a und Produkt b = Produkt ÷ a, dann die Summe (a darf nicht 0 sein)
b und Produkt a = Produkt ÷ b, dann die Summe (b darf nicht 0 sein)
a und Summe b = Summe − a, dann das Produkt
b und Summe a = Summe − b, dann das Produkt
Produkt und Summe löse x² − (Summe)x + Produkt = 0

Produkt und Summe: der schwierige Fall

Sind nur Produkt und Summe bekannt, sind a und b die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung x² − (Summe)x + Produkt = 0. Die Diskriminante Summe² − 4 × Produkt zeigt, was passiert:

  • Positiv und eine Quadratzahl (7² − 4 × 12 = 1): zwei ganzzahlige Lösungen, hier 3 und 4.
  • Positiv, aber keine Quadratzahl (3² − 4 × 1 = 5): zwei reelle Lösungen, die keine ganzen Zahlen sind, hier etwa 0,382 und 2,618. Im Modus für ganze Zahlen meldet der Rechner, dass keine ganzen Zahlen passen.
  • Null (2² − 4 × 1 = 0): eine doppelte Lösung, beide Zahlen sind gleich (1 und 1).
  • Negativ (2² − 4 × 10 = −36): Es gibt kein reelles Paar. Die Zahlen sind ein komplex konjugiertes Paar, hier 1 + 3i und 1 − 3i, und der Rechner sagt das ausdrücklich, statt zu scheitern.

Rechenbeispiele

  • Produkt 12, Summe 7: a = 3, b = 4.
  • Produkt −12, Summe 1: a = −3, b = 4.
  • a = 4, Produkt −20: b = −5, Summe −1.
  • Produkt 6, Summe 5 im Modus für ganze Zahlen: a = 2, b = 3.

Mit der Raute faktorisieren

Bei x² + 7x + 12 schreibst du 12 (das Absolutglied, mal den Koeffizienten von x²) nach oben und 7 nach unten. Die Werte links und rechts, 3 und 4, ergeben die Faktoren (x + 3)(x + 4). Ist der Koeffizient von x² nicht 1, schreibst du das Produkt aus diesem Koeffizienten und dem Absolutglied nach oben und zerlegst mit den beiden Zahlen den mittleren Term.

Häufig gestellte Fragen

Es ist ein Rätsel in Form einer Raute, die in vier Teile gegliedert ist. Oben steht das Produkt zweier Zahlen, unten ihre Summe, links und rechts die Zahlen selbst. Zwei Teile sind vorgegeben, die anderen beiden sucht man. Lehrkräfte setzen sie ein, um auf das Faktorisieren von Trinomen vorzubereiten.

Ist das Quadrat der Summe kleiner als das Vierfache des Produkts, ist die Diskriminante negativ, und keine reellen Zahlen ergeben addiert deine Summe und multipliziert dein Produkt. Die beiden Zahlen sind dann komplex: Der Rechner zeigt sie als konjugiertes Paar wie 1 + 3i und 1 − 3i, und beide erfüllen Summe und Produkt trotzdem.

Er beschränkt die Lösung auf ganze Zahlen, so wie die meisten Rautenaufgaben im Schulbuch gestellt sind. Enthält die reelle Lösung einen Bruch oder eine irrationale Zahl, meldet der Rechner, dass keine zwei ganzen Zahlen passen, und zeigt trotzdem die reelle Lösung, damit du siehst, warum.

Weil der andere Faktor das Produkt geteilt durch 0 wäre. Ist das Produkt nicht 0, gibt es eine solche Zahl nicht, und ist es 0, passt jede Zahl, die Lösung ist also nicht eindeutig. Ein Faktor 0 mit einer Summe ist dagegen in Ordnung: Der andere Faktor ist die Summe, und das Produkt ist 0.

Nein. Die eingegebenen Werte werden zur Berechnung an unseren Server gesendet und beim Wechsel zwischen den Schritten an den Seitenlink angehängt, damit du eine Aufgabe als Lesezeichen speichern oder teilen kannst. Sie werden in keinem Konto und keinem Profil gespeichert.

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