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Diskriminantenrechner

Schritt 1 / 4 Diskriminante von ax² + bx + c = b² − 4ac
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Bevor Sie die vollständige quadratische Formel ausführen, sagt Ihnen ein einziger Ausdruck alles über die Wurzeln, die Sie erhalten werden. Die Diskriminante b^2 - 4ac ist positiv, wenn es zwei reelle Wurzeln gibt, null, wenn es genau eine (eine wiederholte Wurzel) gibt, und negativ, wenn die Wurzeln ein komplexes konjugiertes Paar sind. Dieses Tool berechnet sie aus Ihren a-, b-, c-Koeffizienten und erklärt, was der Wert bedeutet.

Wie man die Diskriminante berechnet

  1. 1

    Geben Sie die Koeffizienten ein

    Geben Sie a, b und c aus der Standardform ax^2 + bx + c = 0 ein. Dezimalzahlen und negative Zahlen sind akzeptiert.

  2. 2

    Lesen Sie die Diskriminante

    Das Tool zeigt D = b^2 - 4ac und das numerische Ergebnis an.

  3. 3

    Interpretieren Sie den Wert

    Sehen Sie, ob die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln, eine wiederholte Wurzel oder zwei komplexe Wurzeln hat.

Was das Zeichen bedeutet

Diskriminante Wurzeltyp Graphverhalten
D > 0 Zwei verschiedene reelle Wurzeln Parabel schneidet die x-Achse zweimal
D = 0 Eine reelle Wurzel (wiederholt/doppelt) Parabel berührt die x-Achse an einem Punkt
D < 0 Zwei komplexe konjugierte Wurzeln Parabel schneidet die x-Achse nie

Anwendungsbeispiele

x^2 - 5x + 6 = 0: D = 25 - 24 = 1. Positiv, also zwei reelle Wurzeln. Mit der Formel: x = (5 +/- 1) / 2, was x = 3 und x = 2 ergibt.

x^2 - 4x + 4 = 0: D = 16 - 16 = 0. Null, also eine wiederholte Wurzel. x = 4/2 = 2.

x^2 + 2x + 5 = 0: D = 4 - 20 = -16. Negativ, also komplexe Wurzeln. x = (-2 +/- sqrt(-16))/2 = -1 +/- 2i.

Über das Zeichen hinaus: der genaue Wert

Die Diskriminante sagt Ihnen auch, ob die Wurzeln rational sind. Für ganze Zahlen a, b, c:

  • D ist eine perfekte Quadratzahl (0, 1, 4, 9, 16, 25, …): Wurzeln sind rational.
  • D ist positiv, aber keine perfekte Quadratzahl: Wurzeln sind irrational und beinhalten eine Quadratwurzel.
  • D ist negativ: Wurzeln sind nicht-reelle komplexe Zahlen.

Wenn Sie dies im Voraus wissen, können Sie feststellen, ob die Gleichung sauber über den ganzen Zahlen faktorisierbar ist.

Verwandte Diskriminanten

Die Idee verallgemeinert sich auf Polynomen höheren Grades. Ein kubisches Polynom hat eine Diskriminante, die b, c, d und konstante Terme umfasst, die die drei Wurzeln in alle-reell-verschieden, reell-mit-Wiederholung oder eine-reelle-zwei-komplexe klassifiziert. Der Rechner hier behandelt nur den quadratischen Fall; für kubische und quartische verwenden Sie einen allgemeinen Algebra-Löser.

Tipps

  • Überprüfen Sie immer die Vorzeichen. Ein abweichendes Minuszeichen bei c verändert die Diskriminante dramatisch.
  • Vereinfachen Sie zuerst die Brüche. Wenn Ihre Koeffizienten rational sind, beseitigen Sie die Nenner, bevor Sie D berechnen, um die Arithmetik überschaubar zu halten.
  • Überprüfen Sie reale Probleme doppelt. Bei der Projektilbewegung bedeutet eine negative Diskriminante, dass das Projektil das Ziel nie erreicht, nicht dass Sie einen Rechenfehler gemacht haben.

Häufig gestellte Fragen

Nicht direkt. Die Formel b^2 - 4ac ist spezifisch für Polynome 2. Grades. Diskriminanten höheren Grades existieren, verwenden jedoch andere Formeln. Wenn Ihre Gleichung nicht quadratisch ist, reduzieren Sie sie zuerst (Substitution, Faktorisierung), bis Sie ein quadratisches Stück erreichen.

In einem Projektilproblem ist eine Diskriminante von null der Grenzfall, in dem das Projektil das Ziel gerade so über einen tangentialen Pfad erreicht. In einem Schaltkreisproblem ist es der kritisch gedämpfte Fall. Physikalisch ist es die Schwelle zwischen zwei verschiedenen Verhaltensweisen.

Die Berechnung erfolgt serverseitig mit doppelter Gleitkommagenauigkeit, das Ergebnis wird auf 4 Dezimalstellen gerundet angezeigt. Eingaben mit mehr als 15 signifikanten Stellen können angenähert werden.

Nein. Die Koeffizienten werden an unseren Server gesendet, damit das Ergebnis beim Tippen aktualisiert wird; im Schritt-für-Schritt-Modus stehen sie auch im Seitenlink. Sie werden weder gespeichert noch protokolliert.

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