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Ellipsenfläche-Rechner

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Gib die große Halbachse (a) und die kleine Halbachse (b) ein, und dieser Rechner liefert die Ellipsenfläche mit der exakten Formel A = πab, einen genauen Umfang über die Näherung von Ramanujan sowie die Exzentrizität, die beschreibt, wie stark die Ellipse gestreckt ist. Nützlich für ovale Tischplatten, Laufbahnen, Umlaufbahnen, Gartenbeete und jede ovale Form, bei der eine reine Kreisformel nicht ausreicht. Wenn a gleich b ist, wird die Ellipse zum Kreis, und die Fläche fällt auf πr² zurück.

So wird die Ellipsenfläche berechnet

  1. 1

    Große Halbachse (a) eingeben

    Die Hälfte des längsten Durchmessers der Ellipse, vom Mittelpunkt bis zur am weitesten entfernten Kante gemessen. Jede Einheit ist möglich (cm, Zoll, Meter); das Ergebnis nutzt dieselbe Einheit für die Länge und ihr Quadrat für die Fläche.

  2. 2

    Kleine Halbachse (b) eingeben

    Die Hälfte des kürzesten Durchmessers, vom Mittelpunkt bis zur nächstgelegenen Kante gemessen. Sie darf nicht größer als a sein; vertauschst du sie, stimmt die Rechnung trotzdem, da die längere einfach als große Achse behandelt wird.

  3. 3

    Ergebnisse ablesen

    Die Fläche nutzt die exakte Formel A = πab. Der Umfang verwendet Ramanujans hochgenaue Näherung (eine exakte geschlossene Form existiert nicht). Die Exzentrizität e = √(1 − b²/a²) reicht von 0 (ein Kreis) bis nahe 1 (eine lange, schmale Ellipse).

Die Formeln

Für eine Ellipse mit großer Halbachse a und kleiner Halbachse b:

  • Fläche: A = π × a × b

  • Exzentrizität: e = √(1 − b²/a²), wobei 0 ≤ e < 1

  • Umfang (Näherung von Ramanujan): mit h = (a − b)² / (a + b)²,

    P ≈ π(a + b) × (1 + 3h / (10 + √(4 − 3h)))

Für den Umfang einer Ellipse gibt es keine einfache exakte Formel: er erfordert ein elliptisches Integral. Die zweite Näherung von Ramanujan oben ist für die meisten Alltagsformen auf besser als ein Teil in zehn Millionen genau, weit präziser als jedes Maßband.

Durchgerechnetes Beispiel

Nimm eine ovale Tischplatte mit großer Halbachse a = 5 und kleiner Halbachse b = 3.

  • Fläche = π × 5 × 3 = 47,1239 Quadrateinheiten
  • h = (5 − 3)² / (5 + 3)² = 4 / 64 = 0,0625
  • Umfang ≈ π × 8 × (1 + 3×0,0625 / (10 + √(4 − 0,1875))) ≈ 25,5269 Einheiten
  • Exzentrizität = √(1 − 9/25) = √0,64 = 0,8

Die Platte ist also ziemlich langgestreckt (e = 0,8), und du bräuchtest etwa 25,53 Einheiten Kantenband zum Umleimen.

Referenzwerte

a b Fläche (πab) Umfang Exzentrizität
1 1 3,1416 6,2832 0,0000
2 1 6,2832 9,6884 0,8660
3 2 18,8496 15,8654 0,7454
5 3 47,1239 25,5269 0,8000
10 4 125,6637 45,7888 0,9165
10 10 314,1593 62,8319 0,0000

Häufige Fehler

  • Achse vs. Halbachse. Die Formeln brauchen die Halbachsen (Mittelpunkt bis Kante), nicht die vollen Durchmesser. Hast du die volle Breite und Höhe gemessen, halbiere zuerst jeden Wert.
  • Der Kreis ist ein Sonderfall. Bei a = b ist die Exzentrizität 0 und die Fläche einfach πr². Kommt bei dir eine Exzentrizität von 0 heraus, hast du einen Kreis, kein Oval.
  • Der Umfang ist eine Schätzung. Auch die Formel von Ramanujan ist eine Näherung, wenn auch eine ausgesprochen gute. Erwarte nicht, dass sie das exakte Ergebnis des elliptischen Integrals bis auf zwanzig Nachkommastellen trifft.

Häufig gestellte Fragen

Die große und die kleine Achse sind die vollen längsten und kürzesten Durchmesser der Ellipse. Die große Halbachse (a) und die kleine Halbachse (b) sind jeweils die Hälfte davon, vom Mittelpunkt aus gemessen. Dieser Rechner verwendet die Halbachsen, halbiere also einen vollen Durchmesser, bevor du ihn eingibst.

Anders als die Fläche hat der Umfang einer Ellipse keine einfache geschlossene Formel: er erfordert ein vollständiges elliptisches Integral zweiter Art. Die hier verwendete Näherung von Ramanujan ist für typische Formen auf besser als ein Teil in zehn Millionen genau, weit mehr als ausreichend für jede praktische Messung.

Die Exzentrizität misst, wie stark die Ellipse gestreckt ist. Der Wert 0 bedeutet einen perfekten Kreis (a = b). Nähert sich der Wert 1, wird die Ellipse länger und schmaler. Zum Beispiel ist e = 0,8 ein deutlich langgestrecktes Oval, während e = 0,1 fast rund ist.

Nein. Die Berechnung aktualisiert sich live, während du tippst. Die eingegebenen Zahlen werden nur an unseren Server gesendet, um das Ergebnis zu berechnen, und weder gespeichert noch geteilt, sodass du den Rechner bedenkenlos für private Messungen nutzen kannst.

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