RREF-Rechner
Put one matrix row on each line. Separate entries with spaces; decimal-comma locales can use spaces, semicolons, or vertical bars between entries.
Bringen Sie eine numerische Matrix in reduzierte Zeilenstufenform und prüfen Sie jede elementare Zeilenumformung. Geben Sie eine rechteckige Matrix von 1 × 1 bis 8 × 8 ein, um RREF, Rang, Nullität, Pivotspalten und freie Spalten zu sehen. Der Rechner verarbeitet endliche Zahlen, keine Variablen oder algebraischen Ausdrücke, und leitet aus einer erweiterten Matrix keine ausformulierte Lösung eines Gleichungssystems ab.
So berechnen Sie die RREF
-
1
Matrix eingeben
Schreiben Sie jede Matrixzeile in eine eigene Eingabezeile und trennen Sie Zahlen mit Leerzeichen, Semikolons oder senkrechten Strichen. Jede Zeile muss gleich viele Einträge enthalten.
-
2
Format prüfen
Verwenden Sie ein beliebiges rechteckiges Format von 1 × 1 bis 8 × 8. Dezimalzahlen mit Komma und wissenschaftliche Schreibweise sind zulässig, Brüche wie 1/3 und symbolische Einträge jedoch nicht.
-
3
Zeilenumformungen verfolgen
Der Rechner wählt ein numerisches Pivotelement, vertauscht Zeilen bei Bedarf, skaliert das Pivotelement auf 1 und beseitigt die übrigen Einträge in seiner Spalte.
-
4
Matrixstruktur ablesen
Prüfen Sie die RREF zusammen mit Rang, Nullität sowie den ab 1 nummerierten Pivotspalten und freien Spalten. Die Zusammenfassung lässt sich anschließend kopieren.
Was die reduzierte Zeilenstufenform bedeutet
Eine Matrix liegt in reduzierter Zeilenstufenform vor, wenn jede von null verschiedene Zeile mit einer führenden 1 beginnt, jede führende 1 weiter rechts steht als die führende 1 der darüberliegenden Zeile, alle anderen Einträge einer Pivotspalte null sind und reine Nullzeilen unten stehen. Die führenden Einsen sind die Pivotelemente.
Die RREF macht die numerische Struktur einer Matrix eindeutig sichtbar. Pivotspalten zeigen, in welchen Spalten Pivotelemente liegen; die übrigen Spalten sind freie Spalten. Der Rang entspricht der Anzahl der Pivotelemente. Bei einer Matrix mit n Spalten ist die hier angegebene Nullität gleich n minus Rang und damit gleich der Anzahl der freien Spalten.
Dieser Rechner nummeriert Spalten ab 1. Werden die Pivotspalten 1 und 3 angegeben, sind damit die erste und die dritte Spalte Ihrer Eingabematrix gemeint.
Angezeigte Zeilenumformungen
Der Rechner verwendet die drei üblichen Arten elementarer Zeilenumformungen:
- Zwei Zeilen vertauschen.
- Eine Zeile mit einer von null verschiedenen Zahl multiplizieren.
- Eine Zeile durch sich selbst minus ein Vielfaches einer anderen Zeile ersetzen.
Für jede Pivotspalte wählt der Rechner unter den verbleibenden Zeilen den Kandidaten mit dem größten Betrag. Dieses partielle Pivotisieren erhöht die numerische Stabilität, weil dadurch nicht durch einen kleineren verfügbaren Wert geteilt wird. Die ausgewählte Zeile wird an die richtige Stelle verschoben, ihr Pivotelement auf 1 skaliert und alle Einträge oberhalb und unterhalb dieses Pivotelements werden beseitigt. Jeder dabei entstehende Zwischenstand erscheint in der Liste der elementaren Zeilenumformungen.
Verschiedene gültige Folgen von Zeilenumformungen können unterschiedliche Zwischenschritte ergeben. Die abschließende reduzierte Zeilenstufenform ist bis auf kleine Effekte der endlichen Rechengenauigkeit gleich.
Durchgerechnetes Zahlenbeispiel
Für die voreingestellte Matrix
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | -1 |
| 2 | 4 | 1 |
| -1 | -2 | 2 |
lautet die reduzierte Zeilenstufenform
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Es gibt zwei Pivotelemente in den Spalten 1 und 3, daher ist der Rang 2. Spalte 2 ist frei und die Nullität beträgt 3 - 2 = 1. Der Rechner zeigt die tatsächlich verwendete Folge der Zeilenumformungen und nicht nur die Endmatrix.
Rang, Nullität, Pivotspalten und freie Spalten
Der Rang zählt die Pivotpositionen in der reduzierten Matrix. Er beschreibt die Dimension des Spaltenraums und entspricht außerdem der Anzahl der von null verschiedenen Zeilen in der RREF.
Die Nullität ist die Dimension des Kerns der Matrix. Für eine m × n-Matrix mit Rang r gilt der Rang-Nullitätssatz:
Rang + Nullität = Anzahl der Spalten, also r + Nullität = n.
Der Rechner bestimmt diese Werte direkt aus der numerischen Reduktion. Eine Matrix kann keine freien Spalten haben; ihre Nullität ist dann null. Eine breite rechteckige Matrix kann mehrere freie Spalten besitzen, und eine Matrix mit abhängigen oder reinen Nullzeilen kann einen Rang unterhalb ihrer Zeilenzahl haben.
Eingaberegeln und numerische Toleranz
Geben Sie pro Eingabezeile eine Matrixzeile ein. Auf der deutschen Seite können Leerzeichen, Semikolons und senkrechte Striche die Einträge trennen. Verwenden Sie für Dezimalzahlen ein Komma, aber keine Tausendertrennzeichen. Leerzeilen werden ignoriert, alle nicht leeren Zeilen müssen jedoch gleich lang sein. Zulässig sind ganze Zahlen, Dezimalzahlen und wissenschaftliche Schreibweise wie 2,5e-3. Jeder Wert muss endlich sein und zwischen -1000000 und 1000000 liegen.
Der Rechner verwendet Gleitkommaarithmetik. Während der Reduktion werden Werte mit einem Betrag unter 1e-10 als null behandelt. Diese Toleranz verhindert, dass winzige Rundungsreste als falsche Pivotelemente erscheinen. Bei nahezu singulären Matrizen sollten Sie das Ergebnis dennoch anhand der Genauigkeitsanforderungen Ihrer Lehrveranstaltung oder Anwendung prüfen.
Was dieser Rechner nicht leistet
Dies ist ein numerischer Matrixreduzierer, kein symbolisches Algebrasystem. Er akzeptiert keine Variablen, als Ausdrücke geschriebene Brüche, Wurzeln oder Formeln. Er berechnet weder Determinante noch Inverse und erzeugt keine parametrische Lösung. Außerdem übersetzt er Zeilen nicht in Gleichungen und entscheidet nicht, ob ein gesondert beschriebenes Gleichungssystem lösbar ist.
Sie können eine numerische erweiterte Matrix eingeben, um ihre Zeilenreduktion zu untersuchen. Der Rechner behandelt jedoch jede Spalte als Teil einer einzigen Matrix. Er erkennt keine Trennlinie für den erweiterten Teil und deutet die letzte Spalte nicht als Konstanten. Verwenden Sie die angezeigte RREF und die Spaltenangaben als Matrixausgabe und wenden Sie anschließend die Konventionen Ihrer eigenen linearen Algebraaufgabe an.
Häufig gestellte Fragen
Er akzeptiert rechteckige numerische Matrizen mit 1 bis 8 Zeilen und 1 bis 8 Spalten. Jede nicht leere Zeile muss gleich viele Einträge enthalten.
Ja. Er zeichnet die Ausgangsmatrix sowie jeden Zeilentausch, jede Skalierung und jeden Eliminationsschritt auf und zeigt nach jedem Schritt den jeweiligen Matrixstand.
Nein. Geben Sie endliche numerische Werte wie ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder wissenschaftliche Schreibweise ein. Ausdrücke wie 1/3, Wurzeln und symbolische Einträge werden nicht ausgewertet.
Der Rang ist die Anzahl der während der Reduktion gefundenen Pivotspalten. Die Nullität ist die Gesamtzahl der Spalten minus Rang und entspricht daher der Anzahl der freien Spalten.
Er kann eine numerische Matrix zeilenweise reduzieren, auch Zahlen in der Form einer erweiterten Matrix. Er erkennt jedoch keine Variablen oder Trennlinie, prüft kein ausformuliertes System und gibt keine parametrische Lösung aus.
Bei der Reduktion werden Werte mit einem Betrag unter 1e-10 als null behandelt, um Gleitkommareste zu unterdrücken. Für nahezu singuläre Matrizen kann ein spezialisiertes Werkzeug mit höherer Genauigkeit oder exakter Arithmetik nötig sein.
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