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Binomialverteilung Rechner

Schritt 1 / 4 P(X = k)
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Gegeben n unabhängige Bernoulli-Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p, sagt die binomiale Verteilung Ihnen, wie oft Sie genau k Erfolge sehen werden. Der Rechner behandelt die exakte Wahrscheinlichkeit P(X = k), die kumulative P(X ≤ k), die obere Randwahrscheinlichkeit P(X ≥ k) sowie den Mittelwert/Varianz in einem Schritt — alles mit der log-gamma-basierten Kombinatorik, sodass er auch bei n = 10.000 genau bleibt.

Wie man die binomiale Wahrscheinlichkeit berechnet

  1. 1

    Geben Sie n ein (Anzahl der Versuche)

    Muss eine nicht-negative ganze Zahl sein. Typische Werte: 10 Münzwürfe, 100 A/B-Testbesucher, 10.000 Produktionsproben.

  2. 2

    Geben Sie p ein (Erfolgswahrscheinlichkeit)

    Ein Wert zwischen 0 und 1. Für eine faire Münze ist p = 0.5; für eine Klickrate von 12 % ist p = 0.12.

  3. 3

    Geben Sie k ein (Zielanzahl der Erfolge)

    Eine ganze Zahl von 0 bis n.

  4. 4

    Lesen Sie die Wahrscheinlichkeiten

    Exakte P(X = k), linke Randwahrscheinlichkeit P(X ≤ k), rechte Randwahrscheinlichkeit P(X ≥ k), plus Mittelwert = np und Varianz = np(1-p).

Die Formel

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Wo C(n, k) der Binomialkoeffizient ist, also “die Anzahl der Möglichkeiten, k aus n auszuwählen”. Das Tool rechnet im logarithmischen Raum über die Gammafunktion, um Überläufe bei großen n zu vermeiden.

Beispiel: 10 Münzwürfe, genau 7 Kopf

  • n = 10, p = 0.5, k = 7
  • C(10, 7) = 120
  • P(X = 7) = 120 · 0.5^7 · 0.5^3 = 120 / 1024 ≈ 0.1172

Also sehen Sie etwa 11,7 % der Zeit genau 7 Kopf in 10 Würfen.

Wann die binomiale Verteilung gilt

Alle vier Bernoulli-Annahmen müssen gelten:

  1. Feste Anzahl von Versuchen (n wird im Voraus festgelegt).
  2. Jeder Versuch ist unabhängig von den anderen.
  3. Nur zwei Ergebnisse pro Versuch (Erfolg / Misserfolg).
  4. Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit p über die Versuche.

Wenn eine Annahme bricht (abhängige Ziehungen ohne Zurücklegen, variables p, mehr als zwei Ergebnisse), greifen Sie stattdessen auf die hypergeometrische, Poisson-binomial oder multinomial Verteilung zurück.

Mittelwert, Varianz und Normalapproximation

  • Mittelwert: μ = np
  • Varianz: σ² = np(1-p)
  • Standardabweichung: σ = √(np(1-p))

Wenn np ≥ 10 und n(1-p) ≥ 10, wird die binomiale Verteilung gut durch Normal(μ, σ²) mit einer Kontinuitätskorrektur approximiert. Der Rechner kennzeichnet diese Bedingung, sodass Sie bei Bedarf auf eine z-Score-Abkürzung umschalten können.

Häufig gestellte Fragen

P(X = k) ist die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen; P(X ≤ k) ist die kumulative Wahrscheinlichkeit von höchstens k. Bei 10 Würfen einer fairen Münze ist P(X = 5) ≈ 0.246, aber P(X ≤ 5) ≈ 0.623.

Ja. Der Rechner gibt P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) zurück. Für “mehr als k” ziehen Sie noch eins ab: P(X > k) = P(X ≥ k+1).

Bis zu 100.000 ist stabil dank der log-gamma Berechnung. Darüber hinaus verwenden Sie die Normalapproximation oder die Poisson-Approximation (gültig, wenn p klein und n groß ist).

Dann benötigen Sie die Poisson-binomialverteilung, nicht die einfache binomiale. Dieser Rechner geht von einem konstanten p über alle n Versuche aus.

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