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Integralrechner

Schritt 1 / 4 Integralschätzung

Wählen Sie eine der integrierten Funktionen, setzen Sie Unter- und Obergrenze, und erhalten Sie eine numerische Näherung des bestimmten Integrals. Der Rechner verwendet die zusammengesetzte Simpson-Regel und eignet sich daher besonders für glatte Funktionen auf einem endlichen Intervall, in dem die Funktion überall definiert ist.

So schätzen Sie ein bestimmtes Integral

  1. 1

    Funktion auswählen

    Wählen Sie über die Funktionsschaltflächen `e^x`, `sin(x)`, `cos(x)`, `x²`, `x³`, `√x`, `1/x` oder `ln(x)`.

  2. 2

    Intervall festlegen

    Geben Sie die Untergrenze `a` und die Obergrenze `b` ein. Für `√x` und `ln(x)` muss das Intervall positiv bleiben; bei `1/x` darf es die Null nicht schneiden.

  3. 3

    Genauigkeit wählen

    Legen Sie eine gerade Anzahl von Teilintervallen fest. Der Rechner rundet eine ungerade Eingabe automatisch auf die nächste gerade Zahl auf, weil die Simpson-Regel paarweise arbeitet.

  4. 4

    Näherung ablesen

    Das Ergebnis ist die vorzeichenbehaftete Fläche von `a` bis `b`, mit einer kopierbaren Zusammenfassung für Hausaufgaben, Kontrolle oder schnelle Analysen.

Was dieser Rechner macht

Dies ist ein numerischer Rechner für bestimmte Integrale. Er schätzt

∫_a^b f(x) dx

für eine ausgewählte Funktion auf einem endlichen Intervall. Er löst keine unbestimmten Integrale, erzeugt keine symbolischen Stammfunktionen und beweist keine Konvergenz uneigentlicher Integrale.

Unterstützte Funktionen

Funktion Geeigneter Definitionsbereich Nützliches Testintervall
e^x jedes reelle x [0, 1]
sin(x) jedes reelle x [0, π]
cos(x) jedes reelle x [0, π/2]
x² jedes reelle x [0, 3]
x³ jedes reelle x [-1, 1]
√x x >= 0 [0, 4]
1/x das Intervall darf 0 nicht enthalten [1, 2]
ln(x) x > 0 [1, e]

Simpson-Regel in diesem Tool

Die zusammengesetzte Simpson-Regel teilt [a, b] in eine gerade Anzahl n gleich breiter Teilintervalle. Mit h = (b-a)/n und x_i = a + i h lautet die Näherung:

∫_a^b f(x) dx ≈ h/3 [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]

Der Rechner erlaubt 2 bis 100000 Teilintervalle. Wenn Sie eine ungerade Zahl eingeben, verwendet er die nächste gerade Zahl, damit die Simpson-Gewichte korrekt passen.

So lesen Sie das Ergebnis

  • Vorzeichenbehaftete Fläche zählt. Fläche unterhalb der x-Achse wird von der Fläche oberhalb abgezogen.
  • Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen. Wenn Sie a und b tauschen, wird die Näherung mit -1 multipliziert.
  • Mehr Teilintervalle helfen meist bei glatten Kurven. Sie beheben aber keine Unstetigkeit, keine senkrechte Asymptote und keinen Definitionsfehler.
  • Definitionsbereiche gelten weiterhin. √x braucht nichtnegative Eingaben, ln(x) positive Eingaben, und 1/x kann bei Null nicht ausgewertet werden.

Wann das nicht ausreicht

Nutzen Sie ein Computeralgebrasystem oder einen vollständigen Rechenweg, wenn Sie eine exakte Stammfunktion, ein unbestimmtes Integral, einen Beweis für ein uneigentliches Integral oder strenge Fehlerschranken benötigen. Dieser Rechner ist für schnelle numerische Näherungen der unterstützten Funktionen gedacht.

Häufig gestellte Fragen

Nein. Es ist eine numerische Näherung mit der zusammengesetzten Simpson-Regel. Bei glatten Funktionen verbessert eine höhere Teilintervallzahl die Schätzung meistens.

Diese Version verwendet die im Tool angezeigten Funktionsschaltflächen: e^x, sin(x), cos(x), x², x³, √x, 1/x und ln(x).

Die Simpson-Regel passt Parabelbögen über Paare von Teilintervallen an. Wenn Sie eine ungerade Zahl eingeben, rundet der Rechner auf die nächste gerade Zahl auf.

Das Intervall kann den Definitionsbereich verlassen, zum Beispiel √x unter null, ln(x) bei null oder darunter, oder 1/x über die Null hinweg. Passen Sie die Grenzen an und versuchen Sie es erneut.

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