Integralrechner
Geben Sie einen Ausdruck in x (oder einer anderen Variablen) ein, und der Rechner gibt entweder eine symbolische Stammfunktion oder einen numerischen Wert über ein gegebenes Intervall zurück. Verarbeitet Polynome, trigonometrische, exponentielle, logarithmische und rationale Funktionen sowie gängige Substitutionen und partielle Integration — mit den Schritten, die angezeigt werden, wenn Sie Ihre Arbeit überprüfen müssen.
Wie man ein Integral auswertet
-
1
Geben Sie den Integranden ein
Schreiben Sie die Funktion wie `x^2 + 3*sin(x)` oder `1 / (x^2 + 1)`. Implizite Multiplikation mit Leerzeichen ist erlaubt.
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2
Wählen Sie bestimmt oder unbestimmt
Für ein bestimmtes Integral setzen Sie die unteren und oberen Grenzen (unterstützt `inf` und `-inf`).
-
3
Berechnen
Das Tool versucht zuerst eine symbolische Lösung; wenn das fehlschlägt, fällt es auf numerische Quadratur zurück.
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4
Lesen Sie die Schritte
Optionale schrittweise Erweiterung zeigt die Substitution, partielle Integration oder partielle Bruchzerlegung.
Häufige Stammfunktionen
| f(x) | Integral |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sec^2(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan(x) + C |
| 1 / sqrt(1 - x^2) | arcsin(x) + C |
Techniken, die das Tool versucht, in Reihenfolge
- Grundregeln — Potenz, Exponential, trigonometrisch.
- Substitution (u-sub) — eine Funktion und ihre Ableitung im Integranden erkennen.
- Partielle Integration —
∫u dv = uv - ∫v du, für Produkte unterschiedlicher Funktionstypen. - Partielle Brüche — für rationale Integranden
P(x)/Q(x)mitdeg(P) < deg(Q). - Trigonometrische Identitäten — für Produkte von Sinus und Kosinus.
- Numerische Quadratur — Gauss-Kronrod für bestimmte Integrale, wenn keine geschlossene Form existiert.
Notation für bestimmte Integrale
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Der Hauptsatz sagt: Wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann ist das bestimmte Integral von a bis b gleich F(b) - F(a). Das Tool berechnet zuerst F und wertet dann an den Grenzen aus.
Häufige Fehler
- Das
+ Cweglassen. Jedes unbestimmte Integral hat eine Integrationskonstante. Das Tool druckt sie; Studenten, die von Hand schreiben, vergessen sie oft. - Falsche Grenzen bei uneigentlichen Integralen.
∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, aber∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). Immer die Konvergenz überprüfen. - Arctan anstelle von Arctanh verwenden, wenn der Nenner als
(x-a)(x-b)mit reellen Wurzeln faktorisierbar ist — das ist ein Logarithmus, kein Arctan. - Die Kettenregel bei der u-Substitution vergessen. Wenn
u = 3x, dann istdu = 3 dx, nichtdu = dx.
Wenn es keine geschlossene Form gibt
Einige Integrale haben einfach keine elementare Stammfunktion — e^(-x^2), sin(x)/x, 1/ln(x). Über ein bestimmtes Intervall haben sie dennoch einen numerischen Wert, den das Tool mit hoher Präzision berechnet.
Häufig gestellte Fragen
Für ein bestimmtes Integral fällt das Tool auf numerische Quadratur (Gauss-Kronrod) zurück und gibt einen Wert mit einer Fehlerabschätzung zurück. Für ein unbestimmtes Integral ohne elementare Stammfunktion meldet es dies und bietet eine Reihenentwicklung als Alternative an.
Ja. Wickeln Sie den Ausdruck ein, um die Variable zu klären, z.B. integrate(t^2, t). Jede einbuchstabige Variable funktioniert.
Ja. Aktivieren Sie “Schritte anzeigen” und das Tool druckt die Substitution, die Wahl der partiellen Integration oder die partielle Bruchzerlegung, die es verwendet hat, eine Zeile nach der anderen.
Ja, aber Sie müssen möglicherweise das Intervall an den Nullstellen aufteilen, um eine saubere Antwort zu erhalten. Das Tool verarbeitet \|x\|, indem es die Vorzeichen automatisch erkennt, wenn möglich.
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