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Eigenwertrechner

Schritt 1 / 4 Matrix A
Erste Zeile

Mit diesem Eigenwertrechner lösen Sie eine reelle 2×2-Matrix aus ihren vier Einträgen. Das Tool berechnet Spur, Determinante, charakteristisches Polynom, Diskriminante und Eigenwerte und zeigt anschließend reelle Eigenvektoren an, sobald die beiden Eigenwerte verschieden und reell sind. Gedacht ist es für Übungsblätter aus der Linearen Algebra, schnelle Kontrollen in technischen Modellen und die Probe, bevor Sie eine kleine Matrix von Hand diagonalisieren.

So finden Sie die Eigenwerte

  1. 1

    Matrixeinträge eingeben

    Tragen Sie a, b, c und d für die Matrix A = [[a, b], [c, d]] ein. Dezimalzahlen und negative Werte sind zulässig.

  2. 2

    Charakteristische Gleichung aufstellen

    Der Rechner bildet aus der Spur T = a + d und der Determinante D = ad - bc die Gleichung λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    Nullstellen klassifizieren

    Die Diskriminante T² - 4D entscheidet, ob die Eigenwerte zwei reelle Werte, ein doppelter Wert oder ein konjugiert komplexes Paar sind.

Formel für eine 2×2-Matrix

Für A = [[a, b], [c, d]] sind die Eigenwerte die Nullstellen von:

det(A - λI) = 0

Ausmultiplizieren dieser Determinante ergibt:

λ² - Tλ + D = 0

Dabei gilt:

  • T = a + d ist die Spur.
  • D = ad - bc ist die Determinante.
  • Δ = T² - 4D ist die Diskriminante.

Daraus folgt:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Rechenbeispiel

Für A = [[2, 1], [1, 2]] ist die Spur T = 2 + 2 = 4 und die Determinante D = 2·2 - 1·1 = 3. Das charakteristische Polynom lautet:

λ² - 4λ + 3 = 0

Die Diskriminante ist Δ = 4² - 4·3 = 4, also lauten die Eigenwerte:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Zum Eigenwert 3 gehört etwa der Eigenvektor [1, 1], zum Eigenwert 1 der Eigenvektor [1, -1]. Jedes skalare Vielfache dieser Vektoren ungleich null ist ebenfalls ein gültiger Eigenvektor.

Was die Diskriminante bedeutet

Diskriminante Δ Fall der Eigenwerte Was Sie erwarten können
Δ > 0 Zwei reelle Eigenwerte Zwei verschiedene reelle Nullstellen und bei einer 2×2-Matrix zwei unabhängige Eigenvektoren, sofern die Matrix über den reellen Zahlen diagonalisierbar ist.
Δ = 0 Doppelter Eigenwert Eine doppelte Nullstelle. Der Eigenraum kann ein- oder zweidimensional sein; prüfen Sie die Eigenvektoren daher gesondert, wenn es auf die Diagonalisierbarkeit ankommt.
Δ < 0 Konjugiert komplexes Paar Keine reellen Eigenwerte. Die Nullstellen haben denselben Realteil und entgegengesetzte Imaginärteile.

Häufige Fehler

  • A - λI falsch aufstellen. Nur die Diagonaleinträge ändern sich: a - λ und d - λ.
  • Das Vorzeichen in der Determinante vergessen. Bei einer 2×2-Matrix gilt D = ad - bc, nicht ad + bc.
  • Doppelte Eigenwerte automatisch für diagonalisierbar halten. Eine doppelte Nullstelle braucht trotzdem genügend unabhängige Eigenvektoren.
  • Zu früh runden. Halten Sie Spur, Determinante und Diskriminante so lange wie möglich exakt, besonders bei Dezimalzahlen.

Häufig gestellte Fragen

Das Tool ist auf reelle 2×2-Matrizen ausgelegt. Dadurch bleibt das Ergebnis nachvollziehbar: Jeder Wert stammt aus Spur, Determinante und dem quadratischen charakteristischen Polynom.

Ja. Ist die Diskriminante T² - 4D negativ, bilden die Eigenwerte ein konjugiert komplexes Paar. Eine Drehmatrix wie [[0, -1], [1, 0]] ist das Standardbeispiel dafür.

Der Rechner zeigt Eigenvektoren bei verschiedenen reellen Eigenwerten, weil sich dort zu jeder Nullstelle ein einfacher reeller Vektor angeben lässt. Doppelte und komplexe Fälle brauchen zusätzlichen Kontext, deshalb konzentriert sich das Tool dort auf die Eigenwerte und ihre Klassifizierung.

Es wird keine Datei hochgeladen. Die Einträge werden von der Seitenkomponente ausgewertet, um Spur, Determinante, Polynom und Eigenwerte zu berechnen.

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