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Fakultätsrechner

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Ergebnisse

Geben Sie eine nicht-negative Ganzzahl von 0 bis 1000 ein und erhalten Sie n!, also das Produkt jeder positiven Ganzzahl bis einschließlich n. Der Rechner verwendet arithmetische Berechnungen mit beliebiger Präzision, sodass Werte wie 100! (158 Ziffern) oder 1000! (2568 Ziffern) genau zurückgegeben werden, nicht abgeschnitten. Nützlich für Kombinatorik-Hausaufgaben, Permutationszählungen, Wahrscheinlichkeitsableitungen und überall dort, wo eine Rekursion auf einen Fakultätsbegriff hinausläuft.

Wie man eine Fakultät berechnet

  1. 1

    Geben Sie n ein

    Geben Sie die nicht-negative ganze Zahl ein, deren Fakultät Sie berechnen möchten. Nach Konvention gilt `0! = 1`.

  2. 2

    Erhalten Sie den genauen Wert

    Das Ergebnis erscheint als Ganzzahl mit voller Präzision, selbst bei Hunderten von Ziffern.

  3. 3

    Prüfen Sie die Ziffernanzahl

    Bei sehr großen Werten zeigt die Ziffernanzahl unter dem Ergebnis die Größenordnung auf einen Blick; `1000!` hat 2.568 Ziffern.

  4. 4

    Kopieren Sie für Ihre Berechnung

    Kopieren Sie die exakte Ganzzahl in Ihre Notizen, eine Tabelle oder ein anderes Tool.

Fakultätsreferenz und Wachstum

Fakultäten wachsen schneller als jede Exponentialfunktion. Unten finden Sie den üblichen Spickzettel, der zeigt, wie schnell der Wert explodiert und wo die doppelte Genauigkeit nach IEEE-754 an ihre Grenzen stößt.

Kleine Werte

n n!
0 1
1 1
5 120
10 3.628.800
13 6.227.020.800
20 2.432.902.008.176.640.000

Überlaufgrenzen

  • 32-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen: läuft bei 13! über (Maximalwert ~2,1 Milliarden; 12! = 479.001.600 ist die letzte, die passt, 13! = 6.227.020.800 passt nicht mehr).
  • 64-Bit vorzeichenbehaftete Ganzzahl: überläuft bei 21! (20! ist die letzte, die passt).
  • IEEE-754 (double): wird ungenau ab 22!; 170! ist der größte endliche double-Wert.

Stirlings Näherung

Für große n gibt Stirling eine nützliche geschlossene Schätzung:

n! ≈ √(2πn) · (n/e)^n

Mit n = 100 gibt Stirling 9,3248 × 10^157 zurück, weniger als 0,1 % Abweichung vom exakten 100!. Verwenden Sie es, wenn eine präzise Ganzzahl nicht erforderlich ist und Sie nur eine Größenordnungsschätzung benötigen.

Häufige Anwendungen

  • Permutationen: Anordnungen von n verschiedenen Elementen in Reihenfolge = n!.
  • Kombinationen: C(n, k) = n! / (k! (n - k)!).
  • Wahrscheinlichkeit: der Nenner vieler diskreter Verteilungen.
  • Reihen: Taylor-Entwicklungen, bei denen Koeffizienten Fakultätsbegriffe enthalten.

Grenzfälle

  • 0! = 1 nach Konvention (leeres Produkt). Dies ist kein Grenzwert; es ist eine Definition, die kombinatorische Formeln konsistent macht.
  • Negative ganze Zahlen und Nicht-Ganzzahlen haben im elementaren Sinne keine Fakultät; die Gammafunktion erweitert die Idee: Γ(n+1) = n! für nicht-negative ganze Zahlen.

Häufig gestellte Fragen

Der Rechner akzeptiert n von 0 bis 1000. Der größte Eingabewert, 1000!, hat 2.568 Ziffern und wird sofort berechnet. Werte über 1000 werden auf das Maximum begrenzt.

Es ist eine Konvention, die gewählt wurde, damit Formeln wie nCk = n! / (k!(n-k)!) korrekt bleiben, wenn k = 0 oder k = n. Es ist auch der Wert des leeren Produkts, das die multiplikative Identität ist.

Dieses Tool konzentriert sich auf die diskrete Fakultät. Für nicht-ganzzahlige Argumente benötigen Sie die Gammafunktion; viele Wissenschaftsbibliotheken bieten Γ(n) und Γ(n+1) = n! für ganze Zahlen an, sodass Sie Fakultäten auf die reellen Zahlen erweitern können.

Nein. Der Rechner speichert Ihre Zahl nicht in einer Datenbank und verwendet sie für nichts anderes als die Berechnung der Fakultät. In der mehrstufigen Ansicht wird der Wert im Seitenlink mitgeführt, damit der Ergebnisschritt ihn anzeigen kann.

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