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Fibonacci-Rechner

Schritt 1 / 3 n-te Fibonacci-Zahl
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Wähle, wie viele Glieder du möchtest (1 bis 200), und dieser Fibonacci-Rechner erstellt die Folge F(1), F(2), F(3)…, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden ist. Er gibt die n-te Fibonacci-Zahl, die laufende Summe der gesamten Folge und das Verhältnis der beiden letzten Glieder aus, das gegen den Goldenen Schnitt strebt. Jeder Wert wird mit exakter Arithmetik großer Ganzzahlen berechnet, sodass selbst das 200. Glied, eine 42-stellige Zahl, ohne Rundungsfehler zurückgegeben wird.

So funktioniert der Rechner

  1. 1

    Anzahl der Glieder eingeben

    Gib ein, wie viele Fibonacci-Zahlen du brauchst, von 1 bis 200.

  2. 2

    Modus wählen

    Zeige die Folge, begrenzt auf die ersten 100 Glieder, oder nur das n-te Glied, wenn dich allein der Endwert interessiert.

  3. 3

    Ergebnisse ablesen

    Sieh dir die n-te Fibonacci-Zahl, die Summe aller Glieder und die Näherung an den Goldenen Schnitt an, alles exakt.

Die Fibonacci-Formel

Die Fibonacci-Folge ist durch eine einfache Rekursion definiert:

F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)   für n > 2

Jedes Glied ist die Summe der beiden vorhergehenden. Dieser Rechner verwendet die Konvention F(1) = 1, F(2) = 1, sodass die Folge mit 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… beginnt.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Um F(10) zu finden, addierst du dich Glied für Glied nach oben:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Also ist F(10) = 55. Die Summe dieser zehn Glieder beträgt 143, und das Verhältnis der beiden letzten, 55 / 34 ≈ 1,6176, liegt bereits nahe am Goldenen Schnitt φ ≈ 1,6180339887.

Folge, Summe und Goldener Schnitt

n F(n) Summe von F(1)..F(n) F(n) / F(n-1)
5 5 12 1,6667
10 55 143 1,6176
15 610 1596 1,6181
20 6765 17710 1,6180

Eine elegante Identität: Die Summe der ersten n Fibonacci-Zahlen ist gleich F(n+2) − 1. Für n = 10 ist das F(12) − 1 = 144 − 1 = 143, was zur Tabelle passt.

Häufige Stolperfallen

  • Die Indizierung unterscheidet sich. Manche Lehrbücher beginnen bei F(0) = 0. Dieses Werkzeug verwendet F(1) = 1, F(2) = 1, verschiebe den Index also um eins, wenn du mit einer auf F(0) basierenden Tabelle vergleichst.
  • Gleitkomma-Überlauf. Große Fibonacci-Zahlen mit gewöhnlichen Gleitkommazahlen zu berechnen, verliert etwa ab F(78) an Genauigkeit. Dieser Rechner verwendet exakte Ganzzahlarithmetik, sodass F(200) (eine 42-stellige Zahl) vollständig zurückgegeben wird.
  • Der Goldene Schnitt ist ein Grenzwert, keine Gleichheit. F(n) / F(n-1) nähert sich nur φ an; für endliches n ist es nie exakt gleich. Bei kleinen n-Werten ist die Abweichung deutlich spürbar.

Häufig gestellte Fragen

Eine Zahlenreihe, bei der jedes Glied die Summe der beiden vorhergehenden ist, beginnend mit 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Sie tritt überall in der Mathematik und der Natur auf, von der Anordnung der Blätter bis zu spiralförmigen Schneckenhäusern.

Über die Rekursion F(n) = F(n-1) + F(n-2). Dieses Werkzeug addiert die Glieder iterativ mit exakter Arithmetik großer Ganzzahlen, sodass selbst F(200) ohne Rundung berechnet wird.

Mit wachsendem n konvergiert F(n) / F(n-1) gegen den Goldenen Schnitt φ ≈ 1,6180339887, eine grundlegende Eigenschaft der Folge, die sich aus ihrem geschlossenen Ausdruck (der Formel von Binet) beweisen lässt.

Nichts davon wird gespeichert oder geteilt. Die Zahl, die du eingibst, wird nur zur Berechnung der Ergebnisse an unsere Server übertragen; im Schritt-für-Schritt-Modus steht sie beim Wechsel zwischen den Schritten auch in der Seitenadresse. Sie wird für nichts anderes verwendet.

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