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Quadratwurzel-Rechner

Schritt 1 / 4 Quadratwurzel

Gib eine beliebige Zahl ein. Für nichtnegative Eingaben liefert der Rechner die Hauptwurzel als Dezimalwert; bei positiven ganzen Zahlen zeigt er zusätzlich, wenn möglich, die vereinfachte Wurzelform: √72 = 6√2 und √200 = 10√2. Quadratzahlen ergeben ganze Zahlen. Negative Eingaben werden als komplex markiert; unten wird erklärt, warum √(−x) zu i√x wird.

So wird die Wurzel berechnet

  1. 1

    Radikanden eingeben

    Trage die Zahl unter dem Wurzelzeichen ein. Sie kann positiv, negativ oder null sein.

  2. 2

    Dezimalergebnis ablesen

    Für nichtnegative Eingaben gibt der Rechner die Hauptwurzel mit der üblichen Gleitkomma-Quadratwurzelrechnung aus.

  3. 3

    Vereinfachte Wurzelform prüfen

    Bei positiven ganzen Zahlen werden quadratische Faktoren vor das Wurzelzeichen gezogen. √72 = √(36 × 2) = 6√2.

  4. 4

    Mit den Hinweisen kontrollieren

    Die Beispiele unten zeigen die Faktormethode, häufige Dezimalwerte und den Unterschied zwischen reellen und komplexen Wurzeln.

Wichtige Quadratzahlen

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

Nichtquadrate vereinfachen

Suche bei ganzen Zahlen nach dem größten quadratischen Faktor:

  • √50 = √(25 × 2) = 5√2
  • √72 = √(36 × 2) = 6√2
  • √108 = √(36 × 3) = 6√3
  • √500 = √(100 × 5) = 10√5
  • √1000 = √(100 × 10) = 10√10

Bleibt ein Faktor übrig, der keine Quadratzahl ist, bleibt er unter der Wurzel. Beispiel: √180 = √(36 × 5) = 6√5, nicht √(4 × 45) = 2√45, denn 45 enthält noch den quadratischen Faktor 9.

Häufige Dezimalwerte und Anwendungen

  • √2 ≈ 1,41421 (Schulgeometrie: die Diagonale eines 1 × 1-Quadrats)
  • √3 ≈ 1,73205 (Raumdiagonale eines Einheitswürfels)
  • √5 ≈ 2,23607 (kommt im Goldenen Schnitt (1+√5)/2 vor)
  • √7 ≈ 2,64575
  • √π ≈ 1,77245 (Statistik und gaußsche Integrale)
  • √10 ≈ 3,16228
  • √(1000) ≈ 31,6228 (eine Verzehnfachung multipliziert die Quadratwurzel mit etwa 3,16)

Im Bauwesen und beim Messen verwandeln Quadratwurzeln oft eine Fläche in eine Seitenlänge: Eine quadratische Terrasse mit 49 m² hat die Seitenlänge √49 = 7 m, während ein quadratischer Raum mit 80 m² die Seitenlänge √80 = 4√5 m ≈ 8,94 m hat.

Negative Zahlen und komplexe Wurzeln

Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist keine reelle Zahl. In den komplexen Zahlen gilt für positives x: √(−x) = i√x, also √(−4) = 2i. Der Live-Rechner kennzeichnet negative Eingaben als komplex, statt eine reelle Dezimalzahl anzuzeigen.

Quadratwurzel und n-te Wurzel

Dieser Rechner behandelt Quadratwurzeln, also Wurzeln zweiten Grades. Für Kubikwurzeln, vierte Wurzeln und andere Indizes nutze ein allgemeines Tool für n-te Wurzeln. Wichtige Identitäten:

  • √(ab) = √a × √b (nur wenn a und b nichtnegativ sind)
  • √(a/b) = √a / √b (nur wenn b > 0)
  • (√a)² = a (nur wenn a >= 0)

Historischer Hinweis

Das Wurzelzeichen √ entwickelte sich im 16. Jahrhundert aus dem Buchstaben r, von lateinisch radix für Wurzel. Der waagerechte Strich, das Vinculum, kam im 17. Jahrhundert hinzu und zeigt genau an, was unter der Wurzel steht.

Häufig gestellte Fragen

Jede positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln: +r und −r. Das Wurzelzeichen √ gibt die Hauptwurzel zurück, also die nichtnegative. Beim Lösen quadratischer Gleichungen betrachtet man meist beide Wurzeln.

Nach Konvention nur 5. √ gibt die Hauptwurzel zurück. Beim Lösen von x² = 25 erfüllen sowohl 5 als auch −5 die Gleichung, daher schreibt man x = ±5.

Übliche Methoden sind das Ausklammern quadratischer Faktoren, der schriftliche Wurzelalgorithmus und das Newton-Verfahren: x_new = (x + a/x)/2. Das Newton-Verfahren konvergiert schnell; wenige Iterationen reichen meist für Kontrollrechnungen im Unterricht.

Ein klassischer Beweis arbeitet mit Widerspruch. Wenn √2 = p/q in vollständig gekürzter Form gilt, dann ist 2q² = p², also ist p gerade. Schreibe p = 2k; daraus folgt q² = 2k², also ist auch q gerade. Das widerspricht der Annahme, dass p/q vollständig gekürzt war. Deshalb kann √2 kein Bruch sein.

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