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Quadratwurzel Rechner

Schritt 1 / 4 Quadratwurzel

Geben Sie eine positive Zahl ein, und der Rechner gibt ihre Quadratwurzel in dezimaler Form mit 15 Ziffern zurück und, wo möglich, ihre exakte vereinfachte radikale Form — √72 wird zu 6√2, √200 wird zu 10√2. Bei perfekten Quadraten erhalten Sie eine ganze Zahl; bei negativen Zahlen erhalten Sie die i-Notation mit der herausgezogenen imaginären Einheit.

Wie die Wurzel berechnet wird

  1. 1

    Geben Sie den Radikanden ein

    Die Zahl unter der Wurzel. Positiv, negativ oder null.

  2. 2

    Dezimale Form

    Berechnet über den IEEE 754 Quadratwurzel-Befehl — genau auf 15 signifikante Ziffern.

  3. 3

    Vereinfachte radikale Form

    Faktorisieren Sie perfekte quadratische Teiler heraus. √72 = √(36 × 2) = 6√2.

  4. 4

    Zeigen Sie die Berechnung

    Die schrittweise Faktorisierung wird angezeigt, damit Sie sie von Hand reproduzieren können.

Perfekte Quadrate, die man kennen sollte

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

Vereinfachung nicht perfekter Quadrate

Der Trick besteht darin, den größten perfekten quadratischen Faktor zu finden:

Wenn das Ergebnis immer noch einen nicht-quadratischen Faktor hat, wiederholen: √180 = √(36 × 5) = 6√5, nicht √(4 × 45) = 2√45 (nicht vollständig vereinfacht).

Häufige dezimale Werte

Negative Zahlen und Imaginäre

Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist in den reellen Zahlen nicht definiert. In den komplexen Zahlen gilt √(−x) = i√x für positives x. Also ist √(−4) = 2i. Der Rechner gibt die imaginäre Form anstelle einer Dezimalzahl für negative Eingaben aus.

Quadratwurzel vs n-te Wurzel

Der Rechner behandelt Quadrat (2. Ordnung) Wurzeln. Für Kubikwurzeln, vierte Wurzeln usw. verwenden Sie ein allgemeines n-te Wurzel Werkzeug. Wichtige Identitäten:

Geschichtlicher Hinweis

Das radikale Symbol √ entwickelte sich im 16. Jahrhundert aus dem Buchstaben r (für radix, Wurzel auf Latein). Der horizontale Strich (das Vinculum) wurde im 17. Jahrhundert hinzugefügt, um zu kennzeichnen, was unter der Wurzel steht.

Häufig gestellte Fragen

Jede positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln: +x und −x. Die Hauptwurzel (die nicht-negative) ist das, worauf sich √ normalerweise bezieht. Quadratische Gleichungen verwenden beide.

Nur 5, nach Konvention. √ gibt die Hauptwurzel (nicht-negativ) zurück. Bei der Lösung von x² = 25 erfüllen sowohl 5 als auch −5 die Gleichung, also schreibt man x = ±5.

Historische Methoden: Ziffern-für-Ziffern Langdivision Algorithmus, Newtons Methode (iterativ: x_new = (x + a/x)/2) oder Faktorisieren und Vereinfachen für Wurzeln von zahlenreichen perfekten Quadraten. Newtons Methode konvergiert schnell — drei Iterationen ergeben eine 10-stellige Genauigkeit für die meisten Eingaben.

Von den Griechen durch Widerspruch bewiesen: Wenn √2 = p/q in niedrigsten Formen, dann 2q² = p², was p gerade macht, also p = 2k, dann 2q² = 4k², was q² = 2k² ergibt, was q ebenfalls gerade macht — widerspricht niedrigsten Formen. Daher kann √2 kein Bruch sein; es ist irrational.

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