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Standardabweichungsrechner

Schritt 1 / 4 Standardabweichung

Fügen Sie eine Zahlenliste ein. Der Rechner liefert Mittelwert, Varianz, Standardabweichung (Stichprobenstandardabweichung s mit Nenner n−1 und Populationsstandardabweichung σ mit Nenner n), den Variationskoeffizienten und z-Werte für jede Zahl. Das ist hilfreich, um zu prüfen, wie stark Ihre Daten um den Durchschnitt streuen, bevor Sie einen parametrischen Test anwenden.

So wird die Standardabweichung berechnet

  1. 1

    Zahlen einfügen

    Trennen Sie Werte mit Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüchen. Nicht numerische Einträge werden übersprungen.

  2. 2

    Der Mittelwert x-bar wird berechnet

    Summe geteilt durch Anzahl.

  3. 3

    Quadratische Abweichungen werden summiert

    sum((x − x-bar)²).

  4. 4

    Teilen und Wurzel ziehen

    Stichprobe: durch (n−1) teilen und √ ziehen. Grundgesamtheit: durch n teilen und √ ziehen.

Stichprobe oder Grundgesamtheit — welche Variante passt?

Grundgesamtheit verwenden (Nenner n) Stichprobe verwenden (Nenner n−1)
Sie haben alle Werte der untersuchten Gruppe Sie haben eine Auswahl aus einer größeren Gruppe
Vollständige Mitarbeitererhebung 20 Kundinnen und Kunden aus mehreren Tausend
Alle 10 Würfe eines Würfels in einer bestimmten Sitzung Messwerte aus einer Produktionslinie

Der Nenner n−1 (Bessel-Korrektur) liefert aus Stichprobendaten einen unverzerrten Schätzer der Varianz der Grundgesamtheit. Mit n als Nenner unterschätzen Sie die tatsächliche Varianz der Grundgesamtheit systematisch. Bei großem n wird der Unterschied klein, bei kleinen Stichproben ist er aber wichtig.

Intuition zur Standardabweichung

Hat ein Datensatz den Mittelwert 100 und die Standardabweichung 15, dann gilt bei annähernder Normalverteilung:

  • 68% der Werte liegen zwischen 85 und 115 (1 Standardabweichung)
  • 95% liegen zwischen 70 und 130 (2 Standardabweichungen)
  • 99,7% liegen zwischen 55 und 145 (3 Standardabweichungen)

Das ist die 68-95-99,7-Regel, auch empirische Regel genannt. IQ-Werte, Körpergrößen und viele natürliche Messgrößen folgen ihr recht gut, wenn die Verteilung ungefähr normal ist.

Variationskoeffizient

CV = Standardabweichung / Mittelwert. Das ist ein einheitenloses Streuungsmaß und nützlich, wenn Sie Datensätze mit unterschiedlichen Mittelwerten vergleichen. Ein CV von 0,1 (10%) bedeutet grob, dass die Standardabweichung 10% des Mittelwerts beträgt. Für Daten, die den Nullpunkt überschreiten können, ist er meist nicht sinnvoll.

z-Werte

Für jeden Wert x gilt: z = (x − Mittelwert) / Standardabweichung. Der z-Wert zeigt, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt. |z| > 2 wird häufig als auffällig markiert; |z| > 3 ist bei normalverteilten Daten ziemlich selten.

Häufige Fehler

  • Grundgesamtheit verwenden, obwohl es eine Stichprobe ist. Dadurch wird die Streuung in Stichprobendaten unterschätzt.
  • Mittelwert und Standardabweichung aus verschiedenen Einheiten mischen. Prüfen Sie immer die Skala.
  • Normalverteilungsregeln auf nicht normale Daten anwenden. Schiefe oder mehrgipflige Daten machen die 68-95-99,7-Heuristik unbrauchbar. Erstellen Sie zuerst ein Histogramm.
  • Ausreißer ignorieren. Ein einziger Extremwert kann die Standardabweichung stark erhöhen. Für Daten mit schweren Rändern gibt es robuste Alternativen wie mediane absolute Abweichung oder Interquartilsabstand.

Häufig gestellte Fragen

Die aktuellen Excel-Funktionen sind STDEV.S für Stichproben mit Nenner n−1 und STDEV.P für die Grundgesamtheit mit Nenner n. Die älteren Funktionen STDEV und STDEVP bleiben aus Kompatibilitätsgründen verfügbar. Achten Sie darauf, dass die Funktion zu Ihrer Annahme Stichprobe oder Grundgesamtheit passt.

Ja. Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie Ihre Messwerte, etwa cm, Euro oder Sekunden. Die Varianz steht dagegen in quadrierten Einheiten; deshalb ist die Standardabweichung besser lesbar.

Die Stichprobenstandardabweichung ist für n >= 2 definiert. Bei etwa n < 30 sollten Sie zusätzlich Konfidenzintervalle zur Standardabweichung oder eine robuste Alternative erwägen.

Die Standardabweichung ist weiterhin definiert. Für einen Anteil p gilt SD = sqrt(p × (1−p)). Eine Stichprobe mit 60% Einsen hat SD = sqrt(0,6 × 0,4) ~= 0,49, unabhängig von der Anzahl der Beobachtungen.

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