Softonic

Dreifachintegral-Rechner

Schritt 1 / 4 Dreifaches Integral

Dreifachintegrale messen Größen, die über einen dreidimensionalen Bereich verteilt sind: Volumen, Masse aus einer Dichtefunktion oder allgemein einen aufsummierten Wert ∭f(x,y,z) dV. Dieser Rechner liefert eine browserbasierte Näherung mit der Mittelpunktregel über rechteckige numerische Grenzen für x, y und z und eignet sich damit besonders für schnelle Plausibilitätsprüfungen, Unterrichtsbeispiele und quaderförmige Bereiche.

So näherst du ein Dreifachintegral an

  1. 1

    f(x,y,z) eingeben

    Verwende Rechensyntax wie x*y*z, x^2+y^2+z^2 oder sin(x)*cos(y).

  2. 2

    Numerische Grenzen setzen

    Trage Unter- und Obergrenzen für x, y und z ein. Das Werkzeug wertet einen rechteckigen Kasten im xyz-Raum aus.

  3. 3

    Schritte pro Achse wählen

    Der Schieberegler legt n Teilintervalle pro Achse fest; die Näherung nutzt also n³ Mittelpunkt-Stützstellen.

  4. 4

    Mittelpunkt-Näherung berechnen

    Jeder kleine Kasten wird in seiner Mitte ausgewertet und mit dem Volumenelement ΔxΔyΔz multipliziert.

  5. 5

    Verfeinern und prüfen

    Erhöhe die Schrittzahl und vergleiche mit einfachen Fällen oder mit einem symbolischen Ergebnis, falls es eines gibt.

Was der Rechner tatsächlich auswertet

Eingabe Verwendung Praktischer Hinweis
f(x,y,z) Wert der Funktion an jeder Mittelpunkt-Stützstelle Glatte Funktionen konvergieren verlässlicher als scharfe Spitzen oder Sprungstellen
x min/max, y min/max, z min/max Numerische rechteckige Grenzen Grenzen dürfen negativ sein; vertauschte Unter- und Obergrenzen ändern das Vorzeichen dieser Achse
Schritte pro Achse Anzahl der Teilungen in jeder Dimension Der Aufwand wächst wie n³; 60 Schritte bedeuten 216.000 Funktionsauswertungen

Dies ist ein numerischer Rechner, kein symbolischer Integrator. Er findet keine Stammfunktionen und leitet keine neuen Grenzen für Kugel- oder Zylinderkoordinaten her. Wenn dein Bereich eine Kugel, ein Kegel oder ein anderer gekrümmter Körper ist, formuliere das Problem zuerst so um, dass diese rechteckige Mittelpunktmethode Integrand und Grenzen abtasten kann, oder nutze einen symbolischen Dreifachintegral-Ansatz.

Typische Anwendungen

  • Volumen prüfen: Nutze f(x,y,z) = 1 über einem Quader, um dessen Volumen zu kontrollieren.
  • Masse schätzen: Gib eine Dichtefunktion ρ(x,y,z) ein und integriere sie über numerische Grenzen.
  • Mittelwert: Teile die Integralnäherung durch das Volumen des Kastens.
  • Numerische Kontrolle: Vergleiche eine von Hand hergeleitete oder aus dem Lehrbuch bekannte Lösung mit einer schnellen Rechennäherung.

Koordinatensysteme und Volumenelemente

Koordinatensystem Typisches Volumenelement Wichtig für diese Seite
Kartesisch dx dy dz Entspricht direkt den x/y/z-Grenzen dieses Rechners
Zylindrisch r dr dθ dz Hilfreich bei achsensymmetrischen Bereichen; der Faktor r gehört aber in den transformierten Integranden
Sphärisch ρ² sin(φ) dρ dφ dθ Hilfreich für Kugeln und Schalen; erfordert transformierte Grenzen und den Jacobi-Faktor

Die Oberfläche akzeptiert nur numerische Bereiche für x, y und z. Koordinatensysteme bleiben für das Aufstellen der Aufgabe nützlich, aber der endgültige Ausdruck muss zu den Variablen und Grenzen passen, die der Rechner abtastet.

Probe: Einheitswürfel

Für den Einheitswürfel und f(x,y,z) = x*y*z:

∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0.125

Diese Eingabe eignet sich gut zum Testen, weil die Grenzen rechteckig sind und das erwartete Ergebnis einfach ist. Wenn dein numerischer Wert deutlich von 0,125 abweicht, erhöhe die Schrittzahl oder prüfe die Schreibweise des Ausdrucks.

Tipps zur Genauigkeit

Die Mittelpunktregel verbessert sich meist, wenn du die Schrittzahl erhöhst, bleibt aber eine Näherung. Am besten funktionieren glatte Funktionen auf einem rechteckigen Kasten. Sprungstellen, Singularitäten, sehr schmale Spitzen oder Bereiche, die nicht wirklich kastenförmig sind, können irreführende Werte liefern, wenn die Aufgabe nicht sorgfältig umformuliert wird.

Häufig gestellte Fragen

Der Rechner verwendet eine numerische Mittelpunktregel. Mehr Schritte bedeuten mehr Stützstellen, daher sollte sich die Näherung bei glatten Integranden normalerweise einem stabilen Wert annähern.

Nein. Diese Seite nähert bestimmte Integrale über numerische Grenzen an. Für Stammfunktionen oder algebraische Zwischenschritte brauchst du einen symbolischen Integralrechner.

Nicht direkt. Die Eingaben sind rechteckige Bereiche für x, y und z. Bei zylindrischen oder sphärischen Ansätzen müssen der richtige Jacobi-Faktor und die transformierten Grenzen in einer Methode verwendet werden, die diese Variablen unterstützt.

Nein. Alle Berechnungen laufen in deinem Browser.

Verwandte Tools

N·m in ft-lb umrechnen

Rechnen Sie Newtonmeter in ft-lb, lb-ft und in-lb für Werkstatthandbücher, Radschrauben, Fahrradteile und mechanische Arbeiten um.

Integralrechner

Nähern Sie bestimmte Integrale für integrierte Funktionen wie e^x, sin(x), x², x³, √x, 1/x und ln(x) mit der zusammengesetzten Simpson-Regel an.

Geländerstäbe-Rechner

Geben Sie die lichte Weite, die Stabbreite und den maximal zulässigen Abstand ein und erhalten Sie die genaue Anzahl der Geländerstäbe sowie den gleichmäßigen Abstand zwischen den Stäben, ohne dass eine Lücke das zulässige Maß überschreitet.

eGFR-Rechner

Schätzen Sie die eGFR aus Serumkreatinin, Alter und Geschlecht mit der rassenfreien CKD-EPI-Kreatinin-Gleichung 2021. Ergebnis in mL/min/1,73 m².

Mulch-Rechner

Berechnen Sie Mulch nach Beetlänge, Breite und Schichtdicke. Zeigt Kubikfuß, Kubikyards, 2-cu-ft-Säcke und den Kostenvergleich für lose Ware und Säcke.

Altersunterschied berechnen

Berechne den genauen Altersabstand zwischen zwei Geburtsdaten in Jahren, Monaten und Tagen, inklusive gesamter Monate, Wochen und Tage.