Dreifachintegral-Rechner
Dreifachintegrale berechnen Volumen, Masse und Fluss über dreidimensionale Bereiche — das ist das Problem, bei dem ein kartesischer Bereich wie eine Box einfache Grenzen hat, während der Körper zwischen zwei Paraboloiden sorgfältige Entscheidungen zur Integrationsreihenfolge erfordert. Dieser Rechner bewertet ∭f(x,y,z) dV über die von Ihnen angegebenen Grenzen, unterstützt kartesische, zylindrische und sphärische Koordinaten und zeigt jeden Schritt der Antiderivierung.
Wie man ein Dreifachintegral berechnet
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1
Geben Sie f(x,y,z) ein
Der Integrand. Standardnotation: x*y*z, x^2+y^2, sin(x)*cos(y).
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2
Wählen Sie ein Koordinatensystem
Kartesisch (dx dy dz), zylindrisch (r dr dθ dz) oder sphärisch (ρ² sin(φ) dρ dφ dθ).
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3
Setzen Sie die Grenzen
Für jede der drei Variablen — Konstanten oder Funktionen der anderen.
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4
Wählen Sie die Integrationsreihenfolge
dzdydx, dxdydz usw. Die Wahl kann die Mathematik erheblich vereinfachen.
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5
Schritt-für-Schritt-Auswertung anzeigen
Zuerst das innere Integral, dann das mittlere, dann das äußere, mit Antiderivaten in jedem Schritt.
Wofür die drei Koordinatensysteme sind
| System | Volumenelement | Am besten geeignet für |
|---|---|---|
| Kartesisch | dx dy dz | Kästen, Prismen, allgemeine nicht-symmetrische Bereiche |
| Zylindrisch | r dr dθ dz | Zylinder, Kegel, Rotationsflächen |
| Sphärisch | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Kugeln, Sektoren von Kugeln, gravitative Probleme |
Die Verwendung des falschen Systems verwandelt ein triviales Integral in einen Albtraum. Eine Kugel mit Radius 1, die kartesisch integriert wird, hat unordentliche √(1 − x² − y²) Grenzen; in sphärischen Koordinaten ist es ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ, sauber und trennbar.
Häufige Probleme
- Masse: ∭ρ(x,y,z) dV, wobei ρ die Dichte ist.
- Schwerpunkt: ∭x ρ dV / Gesamtmasse, analog für y und z.
- Trägheitsmoment: ∭r² ρ dV um eine gewählte Achse.
- Volumen: ∭1 dV — der Integrand ist 1, was auf die Berechnung des Volumens des Bereichs reduziert wird.
Ändern der Integrationsreihenfolge
Für einen Bereich, in dem die innere Grenze nicht schön als Funktion der äußeren Variablen ausgedrückt werden kann, hilft oft ein Wechsel der Reihenfolge. Skizzieren Sie den Bereich, projizieren Sie auf die innere-äußere Ebene, die Sie möchten, und leiten Sie die Grenzen neu ab.
Beispiel: Volumen einer Kugel
In sphärischen Koordinaten hat die Einheitssphäre {x²+y²+z² ≤ 1}:
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
Das berühmte V = (4/3)πr³ ergibt sich in drei sauberen Schritten — im kartesischen System ist dasselbe Integral mehrere Seiten lang.
Numerischer Rückfall
Einige Integrale haben keine geschlossene Form der Antiderivierung. Wenn die symbolische Integration fehlschlägt, greift der Rechner auf numerische Quadratur zurück und gibt einen Näherungswert mit einer Fehlerabschätzung zurück.
Häufig gestellte Fragen
Am häufigsten waren die Grenzen falsch. Die Grenzen von Dreifachintegralen können von inneren Variablen abhängen, und eine falsche Reihenfolge erzeugt mathematisch unterschiedliche Integrale. Skizzieren Sie zuerst den Bereich und leiten Sie die Grenzen sorgfältig ab.
Der Rechner wechselt zu numerischen Methoden (adaptive Quadratur). Sie erhalten eine numerische Antwort mit einer Fehlergrenze anstelle eines symbolischen Ausdrucks.
Sphärisch, wenn der Bereich eine vollständige 3D-Symmetrie um einen Punkt hat (Kugeln, Kegel von einem Punkt). Zylindrisch, wenn es axiale Symmetrie gibt (Zylinder, Rotationsflächen um eine Achse). Kartesisch, wenn es keine gibt.
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