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Ellipsen-Rechner

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Eine Ellipse ist das Oval, das entsteht, wenn man einen Kreis in eine Richtung streckt. Sie ist vollständig durch zwei Zahlen beschrieben: die große Halbachse (a), die längere Hälfte, und die kleine Halbachse (b), die kürzere. Gib diese beiden Werte ein, und dieser Rechner liefert dir die Fläche, den Umfang (mit der genauen Näherung von Ramanujan), die Brennweite c und die Exzentrizität, die angibt, wie stark das Oval gestreckt ist. Praktisch für Umlaufbahnen, Optik, elliptische Laufbahnen, Gartenbeete, Maschinenteile oder jede geometrische Frage, bei der πab schneller berechnet ist als von Hand.

So werden die Ellipsenwerte berechnet

  1. 1

    Große Halbachse (a) eingeben

    Die halbe Länge des längsten Durchmessers, also der Abstand vom Mittelpunkt zum entferntesten Punkt der Kurve. Jede Einheit ist möglich; die Fläche kommt in dieser Einheit im Quadrat zurück, die Längen in derselben Einheit.

  2. 2

    Kleine Halbachse (b) eingeben

    Die halbe Länge des kürzesten Durchmessers. Sind a und b gleich, ist die Ellipse einfach ein Kreis, und die Exzentrizität ergibt sich zu null.

  3. 3

    Ergebnisse ablesen

    Fläche = πab, der Umfang nutzt die Näherung von Ramanujan, die Brennweite c = √(a² − b²) und die Exzentrizität e = c / a. Alles aktualisiert sich sofort während der Eingabe.

Die Formeln

Eine Ellipse mit großer Halbachse a (der größeren Halbachse) und kleiner Halbachse b (der kleineren) hat diese Eigenschaften:

  • Fläche: A = π · a · b
  • Umfang (erste Näherung von Ramanujan): P ≈ π · [ 3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)) ]
  • Brennweite: c = √(a² − b²), der Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Brennpunkt
  • Exzentrizität: e = c / a, ein Wert zwischen 0 (ein Kreis) und knapp unter 1 (ein sehr flach gedrücktes Oval)

Für den Umfang einer Ellipse gibt es keine einfache exakte Formel, denn es handelt sich um ein elliptisches Integral. Daher verwendet dieses Werkzeug die berühmte Näherung von Ramanujan, die selbst bei recht gestreckten Formen genauer als 0,04 % ist.

Rechenbeispiel

Nimm eine große Halbachse von 5 und eine kleine Halbachse von 3 (also a = 5, b = 3).

  • Fläche = π × 5 × 3 = 47,1239
  • Umfang ≈ π × [ 3(5 + 3) − √((15 + 3)(5 + 9)) ] = π × [ 24 − √252 ] ≈ 25,5270
  • Brennweite c = √(5² − 3²) = √16 = 4,0000
  • Exzentrizität e = 4 / 5 = 0,8000

Referenzwerte

a b Fläche Umfang Brennweite c Exzentrizität
5 5 78,5398 31,4159 0,0000 0,0000
5 3 47,1239 25,5270 4,0000 0,8000
6 4 75,3982 31,7309 4,4721 0,7454
10 2 62,8319 42,0112 9,7980 0,9798

Häufige Fehler

  • Halbachsen, keine ganzen Achsen. Nimm die halbe Länge des Durchmessers je Achse. Gibst du die volle Breite und Höhe ein, wird die Fläche viermal zu groß.
  • a muss die größere sein. Brennweite und Exzentrizität sind über die längere Achse definiert; dieses Werkzeug sortiert a und b für dich, die Reihenfolge spielt also keine Rolle.
  • Der Kreis ist ein Sonderfall. Bei a = b sind Brennweite und Exzentrizität beide 0, das ist korrekt und kein Fehler.
  • Einheiten konsistent halten. Beide Halbachsen in Zentimetern ergeben die Fläche in cm² und alle Längen in Zentimetern. Mische keine Einheiten.

Häufig gestellte Fragen

Die große Halbachse (a) ist die Hälfte des längsten Durchmessers der Ellipse; die kleine Halbachse (b) ist die Hälfte des kürzesten. Wenn du die volle Breite und Höhe des Ovals gemessen hast, teile beide durch zwei, bevor du sie hier eingibst.

Anders als die Fläche lässt sich der exakte Umfang einer Ellipse nicht mit elementaren Funktionen schreiben, denn es ist ein elliptisches Integral. Dieser Rechner nutzt die erste Näherung von Ramanujan, die bei üblichen Formen genauer als 0,04 % ist und deutlich näher liegt als die naive Schätzung π(a + b).

Die Exzentrizität gibt an, wie stark die Ellipse gestreckt ist, auf einer Skala von 0 bis fast 1. Eine Exzentrizität von 0 ist ein perfekter Kreis; Werte nahe 1 beschreiben ein langes, dünnes, zigarrenförmiges Oval. Sie entspricht c / a, der Brennweite geteilt durch die große Halbachse.

Nein. Die Zahlen, die du eingibst, werden nur für die Berechnung an unseren Server gesendet und nicht gespeichert oder geteilt. Auf den geführten Seiten mit mehreren Schritten reisen die beiden Werte außerdem im Link der Seite mit, damit der nächste Schritt dort weiterarbeiten kann, wo du aufgehört hast.

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