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Rechner für geometrische Folgen

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Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied das vorherige multipliziert mit einem festen Wert ist, dem sogenannten Quotienten. Gib das erste Glied, den Quotienten und die gewünschte Anzahl an Gliedern ein, und dieser Rechner liefert dir das n-te Glied, die Summe der ersten n Glieder und eine Vorschau der Folge selbst. Alles aktualisiert sich sofort in deinem Browser, während du tippst, sodass du Wachstums-, Zerfalls- und Zinseszinsmuster erkunden kannst, ohne Potenzen und Wurzeln von Hand zu berechnen. Es funktioniert mit ganzen Zahlen, Dezimalzahlen, als Dezimalzahl geschriebenen Brüchen und Quotienten unter 1 für abnehmende Folgen.

So verwendest du den Rechner für geometrische Folgen

  1. 1

    Erstes Glied und Quotienten eingeben

    Gib das erste Glied (a₁) und den Quotienten (r) ein. Ein Quotient über 1 lässt die Folge wachsen; ein Quotient zwischen 0 und 1 lässt sie schrumpfen.

  2. 2

    Anzahl der Glieder wählen

    Lege die Anzahl der Glieder (n) fest. Der Rechner ermittelt das n-te Glied und addiert für dich die ersten n Glieder.

  3. 3

    Ergebnisse ablesen

    Sieh dir das n-te Glied, die Teilsumme und eine Vorschau der Folge an, alles wird neu berechnet, während du die Eingaben änderst.

Die Formeln

In einer geometrischen Folge ist jedes Glied gleich dem vorherigen Glied mal dem Quotienten r. Ausgehend vom ersten Glied a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

Die Summe der ersten n Glieder (die Teilsumme) ist:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) für r ≠ 1

Wenn der Quotient genau 1 ist, sind alle Glieder gleich, sodass die Summe einfach Sₙ = n · a₁ ist. Liegt der Quotient streng zwischen −1 und 1, konvergiert die unendliche Summe gegen a₁ / (1 − r).

Gelöstes Beispiel

Nimm a₁ = 2 und r = 3 und frage nach n = 5 Gliedern.

  • Folge: 2, 6, 18, 54, 162
    1. Glied: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
  • Summe: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

Jedes Glied ist genau das 3-Fache des vorherigen, und die fünf Glieder ergeben zusammen 242.

Glieder und Teilsummen auf einen Blick

n Glied aₙ = 2·3^(n−1) Summe Sₙ
1 2 2
2 6 8
3 18 26
4 54 80
5 162 242

Häufige Fehler

  • Um eins verschobener Exponent. Das n-te Glied verwendet r^(n−1), nicht rⁿ, denn auf das erste Glied wurde der Quotient noch nicht angewendet.
  • Quotient von 1. Setzt du r = 1 in die Hauptsummenformel ein, teilst du durch null. Verwende stattdessen Sₙ = n · a₁; dieses Tool wechselt automatisch die Formel.
  • Geometrisch vs. arithmetisch. Eine geometrische Folge multipliziert mit einem festen Quotienten; eine arithmetische addiert eine feste Differenz. Verwechselt man sie, entstehen völlig falsche Glieder.
  • Negative Quotienten. Ein Quotient wie −2 lässt das Vorzeichen der Glieder wechseln (2, −4, 8, −16, …); das ist gültig und der Rechner kommt damit zurecht.

Wo geometrische Folgen auftauchen

Geometrische Folgen modellieren alles, was in jedem Schritt um einen konstanten Prozentsatz wächst oder schrumpft. Zinseszins multipliziert ein Guthaben in jeder Periode mit demselben Faktor, sodass die Guthaben eine geometrische Folge bilden. Bevölkerungswachstum, radioaktiver Zerfall gemessen in Halbwertszeiten, die Sprunghöhen eines fallen gelassenen Balls und die jährliche Abschreibung eines Vermögenswerts folgen alle demselben Muster. Den Quotienten in echten Daten zu erkennen, erlaubt dir, den nächsten Wert vorherzusagen, eine laufende Summe abzuschätzen oder zu beurteilen, ob die Formel für die konvergente unendliche Summe gilt, wenn der Quotient zwischen −1 und 1 liegt.

Häufig gestellte Fragen

In einer geometrischen Folge ist jedes Glied das vorherige multipliziert mit einem festen Quotienten (2, 6, 18, …). In einer arithmetischen Folge ist jedes Glied das vorherige plus eine feste Differenz (2, 5, 8, …). Geometrische Folgen wachsen oder schrumpfen exponentiell; arithmetische ändern sich mit konstantem Tempo.

Verwende die geschlossene Formel aₙ = a₁ · r^(n−1). Multipliziere das erste Glied mit dem Quotienten hoch n − 1. Zum Beispiel ist das 8. Glied von 2, 6, 18, … gleich 2 · 3⁷ = 4374. Dieser Rechner erledigt das sofort.

Ja. Ein Quotient zwischen 0 und 1 (etwa 0,5) lässt die Folge gegen null schrumpfen, und ein negativer Quotient (etwa −2) lässt die Vorzeichen wechseln. Gib den Wert als Dezimalzahl ein, und der Rechner behandelt beide Fälle korrekt.

Nein. Deine Zahlen werden nur gesendet, um das Ergebnis zu berechnen. Sie werden nicht gespeichert und für keinen anderen Zweck verwendet.

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