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Rechner für lineare Interpolation

Schritt 1 / 4Einen Wert auf der Geraden durch zwei Punkte bestimmen
Erster bekannter Punkt
Nächste

Schätzen Sie einen y-Wert auf der Geraden durch zwei bekannte Punkte. Geben Sie (x₁, y₁), (x₂, y₂) und den Zielwert von x ein. Der Rechner liefert y, Steigung, y-Achsenabschnitt und den Lageanteil des Ziels im Intervall. Ein Ziel zwischen den bekannten x-Werten ist eine Interpolation. Ein Ziel außerhalb wird klar als Extrapolation gekennzeichnet; dort ist die Annahme einer geraden Entwicklung meist weniger zuverlässig.

So funktioniert es

  1. 1

    Ersten Punkt eingeben

    Geben Sie x₁ und y₁ mit den jeweils passenden realen Einheiten ein. Negative Zahlen und Dezimalwerte werden unterstützt.

  2. 2

    Zweiten Punkt eingeben

    Geben Sie x₂ und y₂ ein. Die beiden x-Werte müssen verschieden sein, damit eine eindeutige Steigung berechnet werden kann.

  3. 3

    Zielwert von x wählen

    Prüfen Sie den berechneten y-Wert, die Steigung, das Einsetzen in die Formel und den Status als Interpolation oder Extrapolation.

So funktioniert die lineare Interpolation

Zwei Punkte mit unterschiedlichen x-Werten bestimmen genau eine Gerade. Für einen Zielwert x verwendet dieser Rechner:

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Die Steigung lautet m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Der Lageanteil t = (x − x₁) / (x₂ − x₁) zeigt die Position des Ziels relativ zum ersten Punkt: t = 0 ist Punkt 1, t = 1 ist Punkt 2 und 0 < t < 1 liegt dazwischen. NIST beschreibt Interpolation als Schätzung von Werten in nicht beobachteten Bereichen zwischen Versuchspunkten und grenzt sie in seinem Handbuch zur technischen Statistik von der Extrapolation außerhalb dieser Punkte ab. Das Geradenmodell f(x) = β₀ + β₁x erläutert NIST zudem in seiner Referenz zur Geraden.

Rechenbeispiel

Die bekannten Punkte seien (10; 25,5) und (20; 40,5), der Zielwert sei x = 14.

  • Steigung: (40,5 − 25,5) / (20 − 10) = 1,5
  • Lageanteil: (14 − 10) / (20 − 10) = 0,4
  • Ergebnis: 25,5 + 0,4 × 15 = 31,5

Da 14 zwischen 10 und 20 liegt, handelt es sich um Interpolation.

Lageanteil Lage des Zielwerts Status im Rechner
Kleiner als 0 Vor Punkt 1 in Richtung der Geraden Extrapolation
0 bis 1 Zwischen den beiden x-Werten, einschließlich Endpunkten Interpolation
Größer als 1 Hinter Punkt 2 in Richtung der Geraden Extrapolation

Wann die Schätzung irreführen kann

Lineare Interpolation setzt voraus, dass der Zusammenhang im Intervall hinreichend geradlinig ist. Aus nur zwei Punkten erkennt sie weder Krümmungen noch Sprünge, Schwellenwerte oder Messfehler. Verwenden Sie für beide x-Werte dieselbe Einheit und ebenso für beide y-Werte; x- und y-Einheit müssen nicht identisch sein. Eine Extrapolation führt dieselbe Steigung über die beobachteten Daten hinaus fort und erfordert besondere Vorsicht. Auch die offizielle SciPy-Anleitung zur Extrapolation weist darauf hin, dass das Verhalten außerhalb des Definitionsbereichs bewusst festgelegt werden muss. Prüfen Sie bei sicherheitskritischen, finanziellen, wissenschaftlichen oder technischen Entscheidungen, ob ein lineares Modell gerechtfertigt ist, und verwenden Sie geeignete Quelldaten und Unsicherheitsanalysen.

Häufig gestellte Fragen

Interpolation wertet die Gerade bei einem x-Wert innerhalb des Bereichs der beiden bekannten x-Werte aus. Extrapolation verlängert die Gerade über den bekannten Bereich hinaus und ist meist unsicherer.

Bei der Steigung wird durch x₂ − x₁ geteilt. Gleiche x-Werte ergeben einen Nenner von null und beschreiben eine senkrechte Gerade, die nicht jedem Zielwert x genau einen y-Wert zuordnet.

Ja. Endliche Zahlen mit Vorzeichen und das Dezimalzeichen der aktiven Spracheinstellung werden akzeptiert. Verwenden Sie in den Feldern keine Tausendertrennzeichen, Einheiten oder wissenschaftliche Schreibweise.

Die fünf Werte können über Server-Anfragen oder Funnel-URLs durch diese Website laufen, damit das Ergebnis berechnet und wiederhergestellt werden kann. Das Werkzeug sendet sie nicht an Drittanbieter; geben Sie dennoch keine vertraulichen Daten ein.

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