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kgV-Rechner

Schritt 1 / 2 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
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Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) einer Menge ganzer Zahlen ist die kleinste positive ganze Zahl, die von jeder Zahl der Menge geteilt wird. Es ist die Zeiteinheit für das Synchronisieren wiederkehrender Ereignisse, der gemeinsame Nenner beim Addieren von Brüchen und die Zykluslänge beim Planen von Aufgaben. Geben Sie eine durch Kommas getrennte Liste positiver ganzer Zahlen ein, und der Rechner liefert das kgV samt der Primfaktorzerlegung als Rechenweg.

So berechnen Sie das kgV

  1. 1

    Ganze Zahlen eingeben

    Trennen Sie die Werte mit Kommas oder Leerzeichen, z. B. 12, 18, 30.

  2. 2

    Primfaktorzerlegungen ansehen

    Jede Zahl wird in ihre Primzahlpotenzen zerlegt (2²·3, 2·3², 2·3·5).

  3. 3

    Höchste Primzahlpotenz nehmen

    Behalten Sie für jede Primzahl den höchsten vorkommenden Exponenten.

  4. 4

    Die Höchstwerte multiplizieren

    Das Produkt dieser höchsten Potenzen ist das kgV (hier: 2²·3²·5 = 180).

kgV über Formel und über Primfaktorzerlegung

Für zwei ganze Zahlen gibt es eine kompakte Beziehung, die den größten gemeinsamen Teiler nutzt:

kgV(a, b) = |a × b| / ggT(a, b)

Für drei oder mehr Zahlen wenden Sie sie iterativ an: kgV(a, b, c) = kgV(kgV(a, b), c). Beide Wege liefern dieselbe Antwort; die Zerlegung lässt sich leichter erklären, der Weg über den ggT ist bei großen Eingaben schneller.

Rechenbeispiel

Bestimmen Sie kgV(12, 18, 30):

  • 12 = 2² × 3
  • 18 = 2 × 3²
  • 30 = 2 × 3 × 5

Nehmen Sie die höchste Potenz jeder Primzahl: 2² (aus 12), 3² (aus 18), 5¹ (aus 30).

kgV = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180.

Wo das kgV vorkommt

Situation Was das kgV bedeutet
Addieren von 1/12 + 1/18 Gemeinsamer Nenner (36)
Sich wiederholende Übersetzungen Zähnezahl bis zur erneuten Ausrichtung
Cron-Jobs alle 15, 20, 30 Minuten Wann sie alle gemeinsam starten (60 Min.)
Busfahrpläne an einer gemeinsamen Haltestelle Zeit zwischen „alle drei gleichzeitig“
Musikalische Polyrhythmen (3 vs 4 vs 7) Takte, bis sich die Phrase wiederholt (84)

Sonderfälle

  • Das kgV mit Null ist per Konvention 0, alles mal Null ist Null, also ist das kleinste mit 0 gemeinsame Vielfache die 0 selbst.
  • Das kgV mit negativen Zahlen verwendet den Absolutbetrag; das Ergebnis ist stets nicht negativ.
  • Das kgV einer einzelnen Zahl ist diese Zahl selbst.
  • Teilerfremde Eingaben (ggT = 1) bedeuten kgV = a × b; zum Beispiel kgV(7, 11) = 77.

Häufig gestellte Fragen

Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) ist die größte ganze Zahl, die jede Eingabe teilt; das kgV ist die kleinste ganze Zahl, die von jeder Eingabe geteilt wird. Für jedes Paar gilt: a × b = ggT(a, b) × kgV(a, b), beide sind zueinander dual.

Es ist mindestens so groß wie die größte Eingabe und genau gleich dieser, wenn eine Zahl alle anderen teilt. kgV(3, 6, 12) = 12, weil 12 bereits ein Vielfaches von 3 und 6 ist.

Zum Addieren von Brüchen brauchen Sie einen gemeinsamen Nenner. Das kgV liefert den kleinsten solchen Nenner und hält so die Zwischenrechnung übersichtlich. Für 1/4 + 5/6 ist das kgV 12: 3/12 + 10/12 = 13/12.

Nein, die Zerlegung läuft in Ihrem Browser, und die Eingaben werden nirgendwohin gesendet.

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