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Lineare Regressionsberechnung

Schritt 1 / 2 Ausgleichsgerade
Ergebnisse

Die lineare Regression passt die einzelne gerade Linie y = mx + b an, die die Summe der quadrierten vertikalen Fehler von den Daten minimiert. Es ist das erste Werkzeug, auf das man zurückgreift, wenn man vermutet, dass eine Variable eine andere antreibt, Werbeausgaben vs. Anmeldungen, Temperatur vs. Eisverkauf, Größe vs. Schuhgröße. Füge (x, y) Paare ein und der Rechner gibt Steigung, Achsenabschnitt, R-Quadrat und den Pearson-Korrelationskoeffizienten zurück.

So passt man eine Regressionslinie an

  1. 1

    Daten einfügen

    Ein Paar pro Zeile: x und y durch Komma, Tabulator oder Leerzeichen getrennt. Überschriften werden ignoriert.

  2. 2

    Steigung und Achsenabschnitt ablesen

    Steigung m = Änderung in y pro 1-Einheit-Änderung in x. Achsenabschnitt b = y, wenn x = 0.

  3. 3

    R² überprüfen

    R² ∈ [0, 1], der Anteil der Varianz in y, der durch x erklärt wird. 0,7+ ist normalerweise stark in sozialen Daten.

  4. 4

    Neue Werte vorhersagen

    Setze beliebiges x in y = m·x + b ein, um die Vorhersage des Modells zu erhalten.

Die Formeln hinter der Anpassung

Gegeben N Datenpunkte (x_i, y_i) sind die gewöhnlichen kleinsten Quadrate Steigung und Achsenabschnitt:

m = Σ((x_i − x̄)(y_i − ȳ)) / Σ((x_i − x̄)²)
b = ȳ − m · x̄

R², der Bestimmtheitskoeffizient, ist der Anteil der Varianz in y, der durch x erklärt wird:

R² = 1 − SS_res / SS_tot

wobei SS_res die Summe der quadrierten Residuen und SS_tot die Summe der quadrierten Abweichungen von y zu seinem Mittelwert ist. Pearson r ist ±√R² und trägt das Vorzeichen der Steigung.

Beispiel

Fünf Datenpunkte:

x y
1 2
2 4
3 5
4 4
5 6

x̄ = 3, ȳ = 4.2. Kovarianz-Zähler = (1-3)(2-4.2) + (2-3)(4-4.2) + (3-3)(5-4.2) + (4-3)(4-4.2) + (5-3)(6-4.2) = 4.4 + 0.2 + 0 − 0.2 + 3.6 = 8.0. x-Varianz-Zähler = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10.

  • Steigung m = 8.0 / 10 = 0.8
  • Achsenabschnitt b = 4.2 − 0.8 × 3 = 1.8
  • Gleichung: y = 0.8x + 1.8
  • R² ≈ 0.727

Was die Zahlen dir sagen (und was nicht)

  • Steigung m beantwortet “wie viel sich y pro Einheit von x bewegt”. Es hat die Einheiten von y/x.
  • Achsenabschnitt b beantwortet “was ist y, wenn x 0 ist”. Nur sinnvoll, wenn x = 0 plausibel für deine Daten ist.
  • R² misst die Anpassungsqualität, nicht die Kausalität. Ein hohes R² bei rauschfreien Proxy-Daten kann dennoch bedeutungslos sein.
  • Pearson r erfasst die lineare Assoziation. r nahe 0 mit einer starken gekrümmten Beziehung bedeutet immer noch “keine lineare Anpassung”, nicht “keine Beziehung”.

Fallstricke

  • Ausreißer verzerren OLS-Anpassungen stark, da der Verlust quadriert wird. Ein einzelner abweichender Punkt kann die Linie um 20 Grad drehen.
  • Nichtlinearität wird nicht nur durch R² erkannt, plotte immer die Residuen gegen x.
  • Regression ist nicht symmetrisch: y auf x anzupassen ergibt eine andere Linie als x auf y anzupassen.
  • Extrapolation über den Bereich deiner Daten hinaus ist Spekulation. Die Anpassung kennt nur den Bereich, den sie gesehen hat.

Häufig gestellte Fragen

40% der Variation in y wird durch die lineare Beziehung zu x erklärt. Die verbleibenden 60% stammen aus Rauschen, anderen Variablen oder Nichtlinearität. In der Physik ist das schlecht; in sozialen oder wirtschaftlichen Daten ist es oft akzeptabel.

Beginne mit linear. Wenn das Residuen-Diagramm eine klare Kurve zeigt, versuche eine quadratische oder logarithmische Transformation. Direkt zu einem hochgradigen Polynom zu springen, überanpasst und generalisiert schlecht auf neue Daten.

Mathematisch benötigst du 2; sinnvollerweise mindestens 20. Darunter dominiert ein Ausreißer die Anpassung. Für veröffentlichte Ergebnisse, überprüfe die spezifischen Richtlinien zur Stichprobengröße in deinem Bereich.

Nein. Die (x, y) Paare, die du einfügst, werden in deinem Browser angepasst und verlassen niemals die Seite.

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