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Logarithmus Rechner

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Geben Sie eine positive Zahl und die gewünschte Basis ein. Der Rechner gibt den Logarithmus unter Verwendung der Basiswechsel-Identität zurück, wenn nötig, sowie den natürlichen Logarithmus (ln) und den üblichen Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10) nebeneinander. Nützlich für Hausaufgabenüberprüfungen, pH- und Dezibelberechnungen, Analyse der Algorithmuskomplexität und überall dort, wo Sie log_b(x) benötigen, ohne einen wissenschaftlichen Taschenrechner in der Nähe.

Wie man einen Logarithmus berechnet

  1. 1

    Geben Sie das Argument ein

    Die positive Zahl x, von der Sie den Logarithmus nehmen möchten.

  2. 2

    Wählen Sie die Basis

    e (natürlicher Logarithmus), 10 (üblicher Logarithmus), 2 (binärer Logarithmus) oder eine beliebige benutzerdefinierte Basis b > 0, b ≠ 1.

  3. 3

    Lesen Sie das Ergebnis

    log_b(x) wird mit ln(x) / ln(b) berechnet.

  4. 4

    Siehe die Schritte

    Das Tool zeigt die Basiswechsel-Substitution und die Zwischenwerte des natürlichen Logarithmus.

Definition

log_b(x) = y ⇔ b^y = x

Ein Logarithmus beantwortet: Mit welcher Potenz muss ich die Basis b erhöhen, um x zu erhalten?

Übliche Basen

Notation Basis Typische Verwendung
log(x) 10 pH, Dezibel, Richter-Skala, Rechenschieber-Mathematik
ln(x) e Analysis, kontinuierliches Wachstum, Wahrscheinlichkeit
lg(x) / log₂(x) 2 Informationstheorie, binäre Bäume, Big-O-Analyse

Basiswechsel-Identität

Wenn Ihr Rechner nur ln und log₁₀ kennt, können Sie dennoch jede Basis berechnen:

log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b)

Genau das macht dieses Tool intern.

Grundregeln

  • log_b(1) = 0 für jede gültige Basis.
  • log_b(b) = 1.
  • log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y) (Produktregel).
  • log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y) (Quotientenregel).
  • log_b(x^p) = p · log_b(x) (Potenzregel).
  • Negative Argumente sind in den reellen Zahlen undefiniert, das Tool zeigt einen Fehler an.

Bearbeitete Fälle

  • log₂(1024) = 10, weil 2^10 = 1024.
  • log₁₀(0.001) = −3.
  • ln(e²) = 2.
  • log₃(81) = 4.

Häufig gestellte Fragen

In den reellen Zahlen erfüllt kein reeller Exponent y die Gleichung b^y = x, wenn x negativ und b positiv ist. Der komplexe Logarithmus erstreckt sich auf negative Argumente, aber das Ergebnis ist eine komplexe Zahl, kein reeller.

Nach Konvention bedeutet log ohne Index in den meisten wissenschaftlichen und ingenieurtechnischen Kontexten Basis 10 (oder Basis e in Mathematik-Lehrbüchern), während ln immer Basis e bedeutet. Dieses Tool kennzeichnet beide explizit, um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden.

Ja, jede positive b ≠ 1 funktioniert als Basis. Eine Basis kleiner als 1 ergibt einfach eine abnehmende Logarithmusfunktion anstelle einer zunehmenden.

Logarithmen von ganzen Zahlen sind normalerweise irrational. Das Tool rundet auf eine hohe Präzision; runden Sie auf die Dezimalstellen, die Sie für Ihren Kontext benötigen (oft 2–4 für Physik, 6+ für numerische Analysen).

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