Softonic

Normalverteilungsrechner

Schritt 1 / 3 Wahrscheinlichkeit
Weiter

Geben Sie dem Rechner einen Mittelwert, eine Standardabweichung und entweder einen Rohwert oder eine Wahrscheinlichkeit, und er liefert den z-Wert, die Fläche unter der Kurve (kumulierte Wahrscheinlichkeit) und das zugehörige Perzentil. Er verarbeitet linksseitige, rechtsseitige und zweiseitige Wahrscheinlichkeiten, also alles, was ein Statistik-Übungsblatt im ersten Semester oder ein Qualitätskontrollbericht üblicherweise braucht.

So berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung

  1. 1

    Mittelwert und Standardabweichung eingeben

    Für die Standardnormalverteilung verwenden Sie Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Für den IQ verwenden Sie Mittelwert 100 und Standardabweichung 15.

  2. 2

    Aufgabentyp wählen

    P(X < x), P(X > x), P(a < X < b) oder x bei gegebener Wahrscheinlichkeit bestimmen.

  3. 3

    Wert oder Wahrscheinlichkeit eingeben

    Entweder eine Rohzahl aus der Verteilung oder eine Randwahrscheinlichkeit wie 0,05.

  4. 4

    z-Wert und Wahrscheinlichkeit ablesen

    Das Tool zeigt den z-Wert, die kumulierte Wahrscheinlichkeit und das Perzentil an.

Die Formeln

Der z-Wert standardisiert jeden beliebigen Wert:

z = (x − μ) / σ

Die Verteilungsfunktion Φ(z) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine standardnormalverteilte Variable unter z liegt. Da Φ keine geschlossene Form besitzt, verwenden Rechner numerische Näherungen (die gängigste ist das rationale Polynom von Abramowitz und Stegun, genau bis auf sieben Nachkommastellen).

Empirische Regel (68-95-99,7)

Intervall Wahrscheinlichkeit
μ ± 1σ 68,27 %
μ ± 2σ 95,45 %
μ ± 3σ 99,73 %
μ ± 1,96σ (klassisches 95-%-Konfidenzintervall) 95,00 %
μ ± 2,576σ (99-%-Konfidenzintervall) 99,00 %

Häufige kritische z-Werte

  • Einseitig, α = 0,05: z = 1,645
  • Zweiseitig, α = 0,05: z = ±1,96
  • Zweiseitig, α = 0,01: z = ±2,576
  • Zweiseitig, α = 0,001: z = ±3,291

Schnelle Interpretationstipps

  • Ein positives z bedeutet über dem Mittelwert, ein negatives darunter.
  • |z| > 2 ist bereits seltenes Gebiet: rund 5 % der Verteilung.
  • |z| > 3 ist sehr selten, etwa 0,3 %, und wird in der Fertigung oft als Ausreißergrenze verwendet.
  • Das Perzentil ist Φ(z) × 100. Ein z von 1,0 entspricht dem 84. Perzentil.

Wo es vorkommt

Die Bewertung standardisierter Tests (SAT, IQ), die Qualitätskontrolle (Six Sigma), Finanzrisikomodelle (VaR unterstellt Normalverteilung, oft zu Unrecht) und unzählige Hypothesentests in den experimentellen Wissenschaften stützen sich alle auf Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung.

Häufig gestellte Fragen

Wegen des zentralen Grenzwertsatzes. Summen und Mittelwerte vieler unabhängiger Zufallsvariablen streben einer Normalverteilung zu, unabhängig davon, wie die zugrunde liegenden Verteilungen aussehen. Damit ist die Normalverteilung eine gute Näherung für Stichprobenmittelwerte vieler realer Prozesse.

Exakt selten, näherungsweise oft. Körpergrößen, Messfehler und IQ-Werte liegen nahe an der Normalverteilung. Finanzrenditen, Wartezeiten und viele natürliche Zählgrößen dagegen nicht: Sie haben schwerere Ränder oder sind schief. Zeichnen Sie immer erst eine Grafik, bevor Sie etwas annehmen.

Er sagt, “um wie viele Standardabweichungen dieser Wert vom Mittelwert entfernt liegt”. Ein z von +2 bedeutet “zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert” und platziert den Wert bei etwa dem 97,7. Perzentil, wenn die Verteilung normal ist.

Der Rechner verwendet für |z| < 6 eine numerische Näherung, die bis auf etwa sieben Nachkommastellen genau ist. Darüber hinaus werden die Wahrscheinlichkeiten so klein, dass Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit an ihre Grenzen stoßen; nutzen Sie für die äußersten Ränder Software mit beliebiger Genauigkeit.

Verwandte Tools

Geländerstäbe-Rechner

Geben Sie die lichte Weite, die Stabbreite und den maximal zulässigen Abstand ein und erhalten Sie die genaue Anzahl der Geländerstäbe sowie den gleichmäßigen Abstand zwischen den Stäben, ohne dass eine Lücke das zulässige Maß überschreitet.

Lochkreisrechner

Berechnen Sie Teilkreisdurchmesser, Winkelabstand und X/Y-Koordinaten gleichmäßig verteilter Bohrungen samt Drehung, Versatz und CSV-Export.

Luftkanal-Größenrechner

Schätze runde oder rechteckige Kanalmaße aus Volumenstrom und Zielgeschwindigkeit oder prüfe die Luftgeschwindigkeit in einem vorhandenen Kanal – metrisch oder imperial.

Filament-Gewichtsrechner

Rechnen Sie Länge und Masse von 3D-Druck-Filament um und schätzen Sie aus Brutto- und Taragewicht den Spulenrest samt Materialwert.

Betonrechner

Berechnen Sie Betonmengen für Platten, Fundamente, Stützen und Wände. Ermitteln Sie m³, Kubikyard, Sackmengen und einen sinnvollen Zuschlag.

Regentonnen-Rechner

Berechne Dachabfluss, tatsächlich gespeichertes Wasser, Überlauf und Reichweite für ein Regenereignis.

Tool in anderen Sprachen verfügbar