Pythagoreischer Satz Rechner
Gib zwei beliebige Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ein und der Rechner gibt die dritte Seite mit a^2 + b^2 = c^2 zurück. Er verarbeitet beide Richtungen — gibt die Hypotenuse aus den beiden Katheten oder eine Kathete (a oder b) aus der Hypotenuse und der anderen Kathete. Als Bonus gibt er die Innenwinkel des Dreiecks in Grad und Bogenmaß zurück, nützlich für jede Rahmen-, Layout- oder Trigonometrie-Hausaufgabe.
Wie die Berechnung funktioniert
-
1
Wähle, was du berechnen möchtest
Hypotenuse (c) aus den Katheten a und b oder eine Kathete (a oder b) aus der Hypotenuse und der anderen Kathete.
-
2
Gib zwei Seiten ein
Beliebige positive reelle Zahlen. Gemischte Einheiten sind dein Problem — stelle sicher, dass beide Seiten dieselbe Einheit verwenden.
-
3
Wende den Satz an
c = sqrt(a^2 + b^2) oder a = sqrt(c^2 - b^2).
-
4
Lese das Ergebnis
Dritte Seite, plus Winkel gegenüber jeder Seite (90° ist immer zwischen den beiden Katheten).
Häufige Pythagoreische Tripel
Ganzzahlige Seitenlängen, die a^2 + b^2 = c^2 erfüllen:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 9 | 40 | 41 |
Vielfache eines jeden Tripels sind ebenfalls Tripel: 6-8-10, 9-12-15 usw. Zimmerleute verwenden 3-4-5 (in Fuß oder Zoll), um eine Ecke auf einer Baustelle rechtwinklig zu machen — wenn eine Seite 3 ist, eine andere 4 und die Diagonale genau 5 misst, ist die Ecke 90°.
Wann der Satz anwendbar ist
- Nur rechtwinklige Dreiecke. Wenn keiner der Winkel 90° ist, verwende den Kosinussatz (c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos C).
- Flacher (euklidischer) Raum. Der Satz gilt auf einer Ebene. Auf einer Kugel (Erdoberfläche über lange Distanzen) gilt er nicht.
- Gerade Distanz. Du misst ein einzelnes gerades Segment, nicht einen Weg entlang zweier Seiten.
Praktische Anwendungen
- Zimmermannsarbeiten und Rahmen. 3-4-5 Methode, um Wände und Ecken rechtwinklig zu machen.
- Bildschirm- und Monitor-Diagonalen. Eine 27“ Diagonale auf einem 16:9 Monitor ist
diag = sqrt(w^2 + h^2); gegeben die Diagonale, zurück für w und h lösen. - Leitersicherheit. Die 4:1 Regel für Leitern wird zu einem Pythagoras-Problem — eine 12-Fuß-Leiter mit der Basis 3 Fuß heraus erreicht sqrt(144 - 9) ≈ 11.6 Fuß hoch.
- GIS über kurze Distanzen. Die “planare Annäherung” an die Großkreis-Distanz: gut über ein paar Kilometer, falsch über Hunderte.
Erweiterung auf 3D
Für einen rechteckigen Kasten mit Seiten a, b, c ist die Raumdiagonale sqrt(a^2 + b^2 + c^2). Die Formel folgt aus der Anwendung von Pythagoras zweimal: zuerst auf die Basisdiagonale, dann auf diese Diagonale und die vertikale Seite.
Häufig gestellte Fragen
Nur für rechtwinklige Dreiecke (ein 90° Winkel). Für andere Dreiecke verwende den Kosinussatz, der Pythagoras für jeden Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten verallgemeinert.
Es ist das kleinste Pythagoreische Triple mit ganzzahligen Seiten. Zimmerleute und Bauarbeiter verwenden es, um Ecken vor Ort rechtwinklig zu machen, da die Maße leicht mit einem Maßband zu legen sind.
Ja. Der Satz funktioniert mit beliebigen positiven reellen Zahlen, nicht nur mit ganzen Zahlen. Die meisten realen Messungen ergeben Dezimalwerte.
Negative Seitenlängen haben keine physische Bedeutung. Der Rechner lehnt sie ab; wenn du versehentlich ein Minus eingegeben hast, entferne es.
Nicht zuverlässig. Die Erde ist eine Kugel; eine flache Pythagoras-Berechnung über Hunderte von Kilometern ist um mehrere Prozent falsch. Verwende Haversine oder Vincenty für geodätische Distanzen.
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