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Rechner für den Satz des Pythagoras

Schritt 1 / 4 Pythagoreisches Theorem
Lösen für

Gib zwei beliebige Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ein, und der Rechner bestimmt die dritte Seite mit a² + b² = c². Er arbeitet in beide Richtungen: Er findet die Hypotenuse aus den beiden Katheten oder eine fehlende Kathete, wenn Hypotenuse und die andere Kathete bekannt sind. Zusätzlich zeigt er die Innenwinkel in Grad und Bogenmaß an, nützlich für Bauaufmaße, Bildschirmgeometrie und Trigonometrieaufgaben.

So funktioniert die Berechnung

  1. 1

    Unbekannte Seite wählen

    Wähle die Hypotenuse (c) aus den Katheten a und b oder eine fehlende Kathete aus der Hypotenuse und der anderen Kathete.

  2. 2

    Zwei bekannte Längen eingeben

    Verwende beliebige positive reelle Zahlen. Beide Messwerte müssen dieselbe Einheit haben, etwa cm, m, Zoll oder Fuß.

  3. 3

    Satz anwenden

    Für die Hypotenuse gilt c = √(a² + b²). Für eine Kathete gilt a = √(c² - b²) oder b = √(c² - a²).

  4. 4

    Ergebnis ablesen

    Du erhältst die fehlende Seite und den Winkel gegenüber jeder Seite. Der 90°-Winkel liegt immer zwischen den beiden Katheten.

Häufige pythagoreische Tripel

Ganzzahlige Seitenlängen, die a² + b² = c² erfüllen:

a b c
3 4 5
5 12 13
8 15 17
7 24 25
20 21 29
9 40 41

Vielfache eines Tripels sind ebenfalls Tripel: 6-8-10, 9-12-15 und so weiter. Im Bau und beim Heimwerken hilft die 3-4-5-Methode in jeder Einheit, von Zentimetern bis Metern, um einen rechten Winkel zu prüfen. Sind die Katheten 3 und 4 Einheiten lang und die Diagonale genau 5 Einheiten, dann beträgt der Winkel 90°.

Wann der Satz gilt

  • Nur rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein Winkel 90° beträgt, verwende den Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab·cos C.
  • Ebener euklidischer Raum. Der Satz gilt auf einer Ebene. Auf einer Kugel, etwa der Erde über große Entfernungen, gilt er nicht.
  • Geradlinige Strecke. Du misst eine einzelne gerade Strecke, keinen abgeknickten Weg entlang zweier Seiten.

Praktische Anwendungen

  • Bau, Fliesen und Gartenplanung. Nutze 3-4-5 oder 30-40-50 cm, um Wände, Fliesenreihen und Beete rechtwinklig auszurichten.
  • Bildschirmdiagonalen. Bei einem 16:9-Display gilt für die Diagonale d = √(w² + h²). Ist die Diagonale bekannt, lassen sich Breite und Höhe zurückrechnen.
  • Leiterkontrolle. Eine 5 m lange Leiter, deren Fuß 1,25 m von der Wand entfernt steht, reicht √(5² - 1,25²) ≈ 4,84 m an der Wand hoch.
  • GIS auf kurzen Strecken. Eine ebene Näherung kann über wenige Kilometer passen. Über Hunderte Kilometer solltest du eine geodätische Formel wie Haversine oder Vincenty nutzen.

Erweiterung auf 3D

Für einen Quader mit den Seitenlängen a, b und c ist die Raumdiagonale √(a² + b² + c²). Die Formel entsteht, wenn man Pythagoras zweimal anwendet: zuerst auf die Diagonale der Grundfläche, dann auf diese Diagonale und die senkrechte Kante.

Häufig gestellte Fragen

Nur für rechtwinklige Dreiecke, also Dreiecke mit einem 90°-Winkel. Für andere Dreiecke verwende den Kosinussatz, der Pythagoras auf beliebige eingeschlossene Winkel erweitert.

Es ist das kleinste pythagoreische Tripel mit ganzzahligen Seiten. Es lässt sich mit einem Maßband leicht anreißen und sauber auf 30-40-50, 6-8-10 oder größere Maße skalieren.

Ja. Der Satz funktioniert mit allen positiven reellen Zahlen, nicht nur mit ganzen Zahlen. Reale Messwerte führen häufig zu Dezimalergebnissen.

Negative Seitenlängen haben keine geometrische Bedeutung. Der Rechner lehnt sie ab. Wenn du versehentlich ein Minuszeichen eingegeben hast, entferne es.

Nicht zuverlässig. Die Erde ist gekrümmt, daher kann eine ebene Pythagoras-Rechnung über Hunderte Kilometer um mehrere Prozent abweichen. Nutze Haversine oder Vincenty für geodätische Entfernungen.

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